Як розв'язувати задачі з геометрії?

Розв‘язання задач з геометрії іноді здається квестом. Але з будь-якого квесту є вихід.

Пропонуємо разом пройти шлях від основ геометрії до гуру розв'язання задач.

Прочитавши цю статтю, ви зможете побудувати власну стратегію знаходження рішення. Варто пам‘ятати, що успіх залежить від бази знань.

Тож уперед — розбирати основні нюанси та методи.

Наприкінці чекає бонус у вигляді алгоритму!

Геометрія для чайників чи з чого розпочати вивчення?

Одна з основних проблем, з якою стикаються учні — перетворення даних у схему. Правильний малюнок — 80% успіху та репетитор з геометрії допоможе розкрити цю техніку.

Загального алгоритму розв‘язання задач не існує, тому потрібно освоїти базову теорію, щоб побудувати логічний ланцюжок від «дано» до вирішення.

Пропущені уроки геометрії більше не стануть на заваді успішного вивчення. Репетитор допоможе якісно відновити знання або задати хороший старт для освоєння геометрії з нуля.

Які геометричні об‘єкти існують?

Пряма

Пряма — проста фігура, що не викривляється і вважається нескінченною.

Як правило, позначаємо малою латинською літерою. Якщо пряма з‘єднує дві точки — це відрізок, позначається двома великими літерами.

Наприклад: AB (де А — початок відрізка, B — кінець відрізка)

Варто запам'ятати, що:

1. Через будь-які дві точки можна провести пряму і лише одну.
2. Дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
3. Через одну точку можна провести безліч прямих.

Розташування точки щодо прямої:

1. точка належить прямій, пряма проходить через неї, що символічно позначають: Aa;
2. точка не належить прямій, пряма не проходить через неї, що символічно позначають: Aa.

Виходячи з цього, існують прямі:

1. Що перетинаються. Прямі з однією спільною точкою. Символічно позначаємо — ab=A
2. Перпендикулярні. Прямі, що перетинаються під кутом 90° (прямим). Позначаємо — 𝑎⊥𝑏.
3. Паралельні. Прямі без спільних точок. Позначаємо — c∥d.

Відрізок

Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками. Відрізок має початок і кінець. Позначаємо двома великими літерами.

Довжина — основна властивість, що означає відстань від початкової до кінцевої точки.

Як правило, позначається двома великими літерами.

Види відрізків:

• ненаправлений;
• направлений.

Площина

Площина — поверхня, якій належить кожна пряма, що з‘єднує будь-які її точки.  Простими словами — звичайна поверхня (грань піраміди).

Дві площини можуть бути паралельні, або перетинатися по прямій.

Поєднання елементарних об'єктів

Дві прямі, що перетинаються, утворюють кут.

Кут — елементарна геометрична фігура, обмежена двома променями, що виходять з однієї точки.

Градус — одиниця виміру кута. Максимальний або повний кут — 360 °. градусів.

Види кутів:

• Прямий — кут 90°.
• Гострий — менше ніж 90°.
• Тупий — більше ніж 90°.
• Розгорнутий —дорівнює 180°.

Виділяють такі типи кутів:

1. Суміжні — два кути з однією спільною стороною. Сума суміжних кутів — 180°.
2. Вертикальні — два кути, сторони якого продовжують одна одну. Вертикальні кути рівні.

Слід зауважити: з точки, яка не лежить на прямій, можна провести лише один перпендикуляр до цієї прямої.

Бісектриса кута — промінь, що бере початок у вершині кута і ділить його на дві рівні частини.

Основні фігури у геометрії:

Прямокутник, квадрат, трикутник, багатокутник, коло та інші.

Трикутник

Трикутник — геометрична фігура, що утворюється при з‘єднанні трьох прямих у точках, що не належать одній прямій. Точка — вершина трикутника, відрізки — сторони.

Основні властивості трикутників:

• Навпроти більшого кута лежить більша сторона.
• Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.
• Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60 градусам.
• У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Периметр трикутника можна обчислити за допомогою формули:

P = a + b + c, де a, b, c — довжина його сторін.

Види трикутників

Прямокутний

Прямокутний — трикутник, у якого один із кутів прямий, а сума двох інших 90 градусів.

Прямокутний трикутник можна вважати частиною прямокутника, точніше його половиною.

У прямокутного трикутника медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Рівнобедрений

Рівнобедрений — трикутник, у якого дві сторони рівні.

Рівносторонній

Рівносторонній — трикутник, у якого всі кути та сторони рівні. Довжина сторони визначає всі параметри.

Важко дається геометрія?

Займайся з репетитором!

Репетитори з геометрії

Основні теореми геометрії

1. Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Формула:

c2= a2+ b2

1. Теорема синусів: сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Формула:

sin a=sin b=sin c=2R, де a, b, c — сторони, ,, — кути трикутника, R - радіус описаного кола.

1. Теорема косинусів формулюється: квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.

Формула:

a2=b2+c2-2bccos

Що потрібно знати, щоб розв‘язати трикутник?

Термін «розв‘язати трикутник» означає знайти всі його елементи — сторони та кути.

Для цього потрібно:

1. Не забувати про основні властивості трикутника.
2. Використовувати одну з двох теорем – синусів та косинусів.

З ними ви вже ознайомилися, так що перейдемо до негласного правила: щоб вирішити трикутник потрібні три будь-які числа (елементи). Не важливо: сторони, кути, площа чи об‘єм. Ось і вся магія. Виникли проблеми?

Тоді, розглянемо докладніше:

1. Якщо дано три сторони, то для знаходження кутів скористайтесь теоремою синусів або теоремою Герона для пошуку площі трикутника.
2. Якщо відомо дві сторони та кут між ними, то на допомогу прийде теорема синусів (або косинусів, як вам зручніше). Вітаю, тепер ви знайшли третю сторону.
3. Якщо дано два кути і одна зі сторін, то для знаходження довжин інших сторін використовуємо теорему синусів.
4. Якщо при вирішенні у вас тільки два числа — швидше за все, третє можна вирахувати з базових властивостей трикутника: або із суми кутів (180 °) або це буде кут 90 ° (якраз третє число).

Не хвилюйтеся, якщо не можете визначити, яку з теорем варто застосувати для вирішення вашої задачі — вибирайте будь-яку. Скориставшись однією, помітили, що не виходить поверніться до іншої.

Багатокутники

Багатокутники — геометричні фігури різної форми.

Діагональ — відрізок, який сполучає несуміжні вершини багатокутника.

Прямокутник

Прямокутник — паралелограм, у якого всі кути прямі.

У прямокутника протилежні сторони рівні.

Периметр прямокутника можна обчислити за формулою:

P = 2 × (a + b), де a, b — довжини сторін.

Формули для обчислення площі:

S = a × b, де a, b — довжина та ширина прямокутника.

S = 0,5 × d2 × 𝑠𝑖𝑛α, де d – діагональ, α – кут між діагоналями.

Квадрат

Квадрат — прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Формули для обчислення площі:

S = а2, де а — сторона квадрата.

S = d2: 2, де d — діагональ.

Периметр квадрата:

P = 4×a, де a — довжина сторони.

Паралелограм

Паралелограм — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Площу можна визначити за допомогою формули:

S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, β — кут між діагоналями.

Формула периметра паралелограма:

P = 2 × (a + b), де a, b — довжини сторін.

Ромб

Ромб — паралелограм з рівними сторонами.

Для обчислення площі використовуємо формули:

S = a × a × sinα або S = a2 × sinα.

S = 0,5×(d1×d2), де d1,d2 — дві діагоналі.

Периметр ромба можна знайти за допомогою формули:

P = 4×a, де a — довжина сторони.

Репетитор допоможе швидко та якісно розібратися у всіх тонкощах та нюансах.

Окружність: коло

Окружність — геометрична фігура, утворена замкненою кривою лінією, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центру.

Коло — плоска геометрична фігура, що знаходиться всередині кола.

Радіус кола — відстань від центру кола до будь-якої точки на ньому.

Діаметр кола — відрізок, який з‘єднує дві точки на колі, що проходять через центр.

Важливо! У будь-який трикутник можна вписати або описати навколо нього лише одне коло.

Тепер ви знаєте основи, перейдемо до наступного кроку.

Практичні поради: як вирішувати завдання?

Ми вже розглянули різні типи фігур, тож першим кроком визначаємо: перед нами просторова чи задача на «площину»?

1. Прочитайте умови. Не поспішайте, визначте, що потрібно знайти — зосередьтесь на деталях.
2. Створіть малюнок на ¼ аркуша. Навіть якщо завдання не вимагає — намалюйте, інакше все змішається. На великому малюнку простіше побачити рішення.
3. Визначте, що з базових властивостей можна визначити одразу: суму кутів, рівність сторін, теорему Піфагора, теорему синусів тощо.
4. Позначали всі нові дані? Переходьте до питання задачі.
5. З ймовірністю 99% ми знайдемо відповідь у 3 пункті. Якщо ні, тоді перед нами більше даних для вирішення. Тепер лише визначаємо формули для конкретної фігури.

Ви вирішили її, вітаю! Радимо аналізувати кожен етап одразу після рішення. Це допоможе вчасно виявити помилку.

Геометрія — це легко, адже кожен пункт підкріплений науковою теорією.  Відновлюючи знання та дотримуючись алгоритму, у вас більше не виникне питань на кшталт «як зрозуміти геометрію» або «застосувати знання на практиці».