Что такое вектор? Просто и понятно для школьников

Представь, что ты бросаешь мяч вперёд. Он движется в определённом направлении и при этом имеет скорость — это и есть вектор! В этой статье мы подробно разберём, что такое векторы, как их считать, рисовать и зачем они нужны.

Векторы — это как карта движения. Они помогают показать путь (как движется тело), описать силы (например, кто толкает и куда).

Вектор: определение и основные понятия

Мы бросили мяч — и нам нужно показать, куда его бросили и насколько сильно. Это и будет направление вектора и длина вектора (величина).

Вектор — это направленный отрезок. У него есть:

Начальная точка (где начинается вектор)
Конечная точка (где заканчивается)
Направление (от начала к концу)
Длина (модуль вектора)

Скаляр — это просто число (например, температура, длина, масса), а вектор — это то, что имеет ещё и направление (скорость, сила, движение).

Если мы идём 5 шагов вперёд — это один вектор.
Если мы идём 3 шага влево — это другой вектор.

Как находить координаты вектора?

Координаты вектора — это то, на сколько единиц нас сдвигает вектор. Если координаты вектора (1, 2), значит, вектор сместил точку начала на 1 единицу по горизонтали и на 2 по вертикали.

Предположим, вектор начинается в точке A(2, 3) и заканчивается в точке B(5, 7).

Чтобы найти координаты вектора AB, вычитаем координаты:

x = 5 – 2 = 3
y = 7 – 3 = 4
AB = (3, 4)

Если знак положительный — мы движемся вверх или вправо (в сторону увеличения). Если отрицательный — вниз или влево (в сторону уменьшения).

Модуль вектора (длина)

Это просто длина вектора, то есть длина стрелочки на рисунке. Находим её по формуле, как в теореме Пифагора:

|a| = √(x² + y²)

Например, если вектор a = (3, 4), то:

|a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Длина вектора — это, по сути, и есть большая сторона прямоугольного треугольника.

Направляющие косинусы вектора

Вектор может образовывать углы с осями координат. Косинусы этих углов называют направляющими косинусами.
Если вектор a = (x, y, z), а его длина |a|, то:

cos α = x / | a |
cos β = y / | a |
cos γ = z / | a |

Эти значения показывают, насколько вектор наклонён к каждой оси.

Равенство векторов

Два вектора равны, если:

Их координаты одинаковы
Они одинаковой длины
Они имеют одинаковое направление

Ортогональность векторов (перпендикулярность)

Два вектора перпендикулярны (ортогональны), если угол между ними — 90°. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю.

Коллинеарные векторы

Это векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны. Один вектор можно получить, умножив другой на какое-то число.

Например:

a = (2, 4)
b = (1, 2)
a = 2 · b
А значит, векторы коллинеарны!

Угол между векторами

Чтобы найти угол между векторами a и b, используют формулу:

cos θ = (a · b) / (| a | · | b |)

Сложение и вычитание векторов

Представь, что ты:

сначала идёшь 4 шага вперёд,
потом ещё 3 шага вперёд.

Ты скажешь: "Я прошёл 7 шагов вперёд".

Это и есть сложение векторов.

Если векторы:
a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)

➕Сложение:

a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

➖Вычитание:

a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)

Это как складывание или вычитание стрелочек.

Умножение вектора на число

Умножить вектор на число — значит усилить его, изменить направление силы или скорости. Мы удлиняем или разворачиваем стрелку вектора.

Вектор × 2 — стал в два раза длиннее
Вектор × -1 — развернулся в другую сторону

Когда умножаем вектор на число:

Его длина изменяется
Направление остаётся тем же (если число положительное)

k · a = (k · x, k · y)

Скалярное произведение

Что вообще такое скаляр? Скаляр — это число, которое никак не показывает направление. Например, скорость 50 км/ч или масса 100 кг — это скаляры, то есть просто обычные числа.

Когда две силы работают вместе — мы перемножаем их, чтобы узнать, какой будет общий эффект от двух векторов. Например, если вспомнить сказку про телегу, которую тянут в разные стороны — скалярное произведение будет равно нулю, потому что силы уравновешиваются.

Главное, что показывает скалярное произведение — это насколько один вектор направлен в сторону другого.

Скалярное произведение — это результат умножения двух векторов, которое даёт число:

a · b = x₁ · x₂ + y₁ · y₂
или
a · b = |a| · |b| · cos θ

Векторное произведение

Векторное произведение — это другой вид умножения двух векторов, результатом которого является новый вектор.

Он перпендикулярен к обоим исходным вектором:

a × b = (y_1*z₂ – z_1*y₂; z_1*x₂ – x_1*z₂; x_1*y₂ – y_1*x₂)

Разложение вектора по базису

Базис — это основные векторы координатных осей: i, j, k.
Любой вектор можно представить как:

a = x * i + y * j + z * k

Это удобно для работы в пространстве. Мы видим, сколько нужно взять базисных векторов по каждому направлению, чтобы получить нужный.

Например:
вектор v = (3, 2)
можно записать как:

v = 3 · i + 2 · j

То есть:

берём 3 шага вправо (вектор i),
и 2 шага вверх (вектор j)

Это и есть разложение по базису.

FAQ

Зачем нужны векторы в школе?
Чтобы понимать направления, силы, скорость, углы в геометрии и физике.
Как быстро найти длину вектора?
Используй формулу √(x² + y² + z²)
Что такое скаляр?
Это обычное число. Например, масса, температура, длина.
Чем векторы отличаются от скаляров?
Векторы имеют направление и длину, скаляры — только значение.
В чём разница между скалярным и векторным произведением?
Скалярное даёт число, векторное — новый вектор.