Представь, что ты бросаешь мяч вперёд. Он движется в определённом направлении и при этом имеет скорость — это и есть вектор! В этой статье мы подробно разберём, что такое векторы, как их считать, рисовать и зачем они нужны.
Векторы — это как карта движения. Они помогают показать путь (как движется тело), описать силы (например, кто толкает и куда).
Мы бросили мяч — и нам нужно показать, куда его бросили и насколько сильно. Это и будет направление вектора и длина вектора (величина).
Вектор — это направленный отрезок. У него есть:
Скаляр — это просто число (например, температура, длина, масса), а вектор — это то, что имеет ещё и направление (скорость, сила, движение).
Если мы идём 5 шагов вперёд — это один вектор.
Если мы идём 3 шага влево — это другой вектор.
Координаты вектора — это то, на сколько единиц нас сдвигает вектор. Если координаты вектора (1, 2), значит, вектор сместил точку начала на 1 единицу по горизонтали и на 2 по вертикали.
Предположим, вектор начинается в точке A(2, 3) и заканчивается в точке B(5, 7).
Чтобы найти координаты вектора AB, вычитаем координаты:
x = 5 – 2 = 3
y = 7 – 3 = 4
AB = (3, 4)
Если знак положительный — мы движемся вверх или вправо (в сторону увеличения). Если отрицательный — вниз или влево (в сторону уменьшения).
Это просто длина вектора, то есть длина стрелочки на рисунке. Находим её по формуле, как в теореме Пифагора:
|a| = √(x² + y²)
Например, если вектор a = (3, 4), то:
|a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Длина вектора — это, по сути, и есть большая сторона прямоугольного треугольника.
Вектор может образовывать углы с осями координат. Косинусы этих углов называют направляющими косинусами.
Если вектор a = (x, y, z), а его длина |a|, то:
cos α = x / | a |
cos β = y / | a |
cos γ = z / | a |
Эти значения показывают, насколько вектор наклонён к каждой оси.
Два вектора равны, если:
Два вектора перпендикулярны (ортогональны), если угол между ними — 90°. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю.
Это векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны. Один вектор можно получить, умножив другой на какое-то число.
Например:
a = (2, 4)
b = (1, 2)
a = 2 · b
А значит, векторы коллинеарны!
Чтобы найти угол между векторами a и b, используют формулу:
cos θ = (a · b) / (| a | · | b |)
Представь, что ты:
Ты скажешь: "Я прошёл 7 шагов вперёд".
Это и есть сложение векторов.
Если векторы:
a = (x1, y1), b = (x2, y2)
a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
Это как складывание или вычитание стрелочек.
Умножить вектор на число — значит усилить его, изменить направление силы или скорости. Мы удлиняем или разворачиваем стрелку вектора.
Когда умножаем вектор на число:
k · a = (k · x, k · y)
Что вообще такое скаляр? Скаляр — это число, которое никак не показывает направление. Например, скорость 50 км/ч или масса 100 кг — это скаляры, то есть просто обычные числа.
Когда две силы работают вместе — мы перемножаем их, чтобы узнать, какой будет общий эффект от двух векторов. Например, если вспомнить сказку про телегу, которую тянут в разные стороны — скалярное произведение будет равно нулю, потому что силы уравновешиваются.
Главное, что показывает скалярное произведение — это насколько один вектор направлен в сторону другого.
Скалярное произведение — это результат умножения двух векторов, которое даёт число:
a · b = x1 · x2 + y1 · y2
или
a · b = |a| · |b| · cos θ
Векторное произведение — это другой вид умножения двух векторов, результатом которого является новый вектор.
Он перпендикулярен к обоим исходным вектором:
a × b = (y1*z2 – z1*y2; z1*x2 – x1*z2; x1*y2 – y1*x2)
Базис — это основные векторы координатных осей: i, j, k.
Любой вектор можно представить как:
a = x * i + y * j + z * k
Это удобно для работы в пространстве. Мы видим, сколько нужно взять базисных векторов по каждому направлению, чтобы получить нужный.
Например:
вектор v = (3, 2)
можно записать как:
v = 3 · i + 2 · j
То есть:
Это и есть разложение по базису.
FAQ
Зачем нужны векторы в школе?
Чтобы понимать направления, силы, скорость, углы в геометрии и физике.
Как быстро найти длину вектора?
Используй формулу √(x² + y² + z²)
Что такое скаляр?
Это обычное число. Например, масса, температура, длина.
Чем векторы отличаются от скаляров?
Векторы имеют направление и длину, скаляры — только значение.
В чём разница между скалярным и векторным произведением?
Скалярное даёт число, векторное — новый вектор.