Треугольники – одна из базовых тем геометрии. На её базе изучаются многоугольники, окружности и остальные. Эта тема также полезна для развития логического и пространственного мышления, использования разнообразных формул и теорем.
Треугольник — геометрическая фигура, построенная с помощью трех отрезков, соединяющих три точки из разных плоскостей.
Точки, соединяемые отрезками, называются вершинами треугольника, а сами эти отрезки сторонами.
Каждая из вершин называется одной из букв латинского алфавита. Чтобы дать название треугольнику, эти буквы соединяются в произвольном порядке (например, ABC).
В зависимости от длины сторон треугольники делятся на:
Равнобедренные треугольники особенные тем, что имеют две равные стороны, которые называются боковыми. Третью же сторону называют основанием фигуры.
Равносторонние треугольники отличаются тем, что все их стороны одинаковы. Соответственно разносторонний треугольник состоит из трех отрезков неодинаковой длины.
По величине углов фигуры делятся на:
Тупоугольные треугольники – фигуры, один из углов которых имеет величину от 90° до 180°. Остальные два угла всегда будут острыми.
Прямоугольный треугольник имеет в своей основе угол 90° и два острых угла.
Остроугольный треугольник же состоит из трех острых углов, величина которых меньше 90°.
Для треугольников характерны следующие свойства:
Рассмотреть подробно, как именно эти свойства реализуются в процессе решения задач поможет репетитор геометрии онлайн.
Катет – это сторона треугольника, прилегающая к прямому углу.
Гипотенуза – это сторона, расположенная напротив прямого угла.
Так, синус острого угла – это отношение противоположного катета к гипотенузе.
sinα = a/c; sinβ = b/c.
Косинус острого угла – это соотношение близлежащего катета к гипотенузе.
cosα = b/c; cosβ = a/c.
Тангенс острого угла – это отношение противоположного катета к близлежащему.
cosα = b/c; cosβ = a/c.
Это основные формулы, которые пригодятся для базовой работы с прямоугольными треугольниками.
Если все вершины треугольника расположены на окружности, то круг будет называться описанным вокруг треугольника. Центр круга будет находиться на одинаковом расстоянии от любой из вершин.
Круг также может быть вписан в треугольник. В этом случае круг находится внутри треугольника и затрагивает все его стороны.
Чтобы узнать, может ли существовать треугольник с заданными длинами сторон, нужно выполнить следующие неравенства:
(a>0, b>0, c>0).
То есть треугольник считается существующим только в случаях, когда сумма любой его сторон больше длины третьей.
Теорема Пифагора звучит следующим образом:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2=a2+ b2
Для подтверждения этой теоремы используют алгебраический метод и метод подобия треугольников.
Из теоремы Пифагора следует следующее:
a2 = c2 - b2
b2= c2 - a2
c2 = a2 + b2
Чтобы улучшить свои знания и развить представления о различных конструкциях, предлагаем ознакомиться с темой объемных геометрических фигур.