Квадратные уравнения: основные виды и свойства, способы решения

Квадратные уравнения

С помощью квадратных уравнений в математике можно смоделировать разные явления, решать сложные задачи. Эта тема действительно непроста в усвоении и вызывает множество вопросов. Разберемся в основных моментах, связанных с квадратными уравнениями.

Квадратные уравнения: его определения и составляющие

Квадратное уравнение имеет следующий вид ax²+ bx +c = 0. В таком выражении a, b и с — действительные числа, а a не равно нулю. Если a = 0, то уравнение будет не квадратным, а линейным.

В структуре квадратного уравнения a, b и с называются коэффициентами уравнения. Чтобы их можно было различать и выделять, они имеют свои названия:

квадратичный коэффициент;
линейный коэффициент;
свободная постоянная

Каждое полное квадратное уравнение в своем составе содержит либо два разных корня, либо два одинаковых корня, либо два комплексных. Также бывает, что у уравнения нет настоящих корней.

Свойства и особенности квадратных уравнений

Полное квадратное уравнение — выражение, которое имеет в своем составе все три слагаемых, то есть коэффициенты b и c в нем не равны нулю.

Неполное квадратное уравнение – выражение, в котором не представлены все три слагаемых. Коэффициент b или c равен нулю.

Корень квадратного уравнения — любое значение x, при котором трехчлен ax²+bx+c превращается в 0.

Что нужно для того, чтобы квадратное уравнение было решено? Надо либо найти все корни, либо определить, что их нет.

Для решения квадратных уравнений используются несколько способов. Давайте рассмотрим основные. Если же хочется усвоить тему быстрее и глубже, репетитор математики с опытом без проблем поможет в этом вопросе.

Метод уравнения квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Один из способов решения квадратного уравнения – поиск дискриминанта. Дискриминант – это выражение, которое вычисляется по формуле b²-4 ac.

При условии, если значение дискриминанта больше нуля, корень будет вычисляться по формуле:

Розв'язування квадратних рівнянь різної складності. Презентація

Если дискриминант = 0 - корень будет всего один.

Когда дискриминант меньше нуля - действительных корней нет, существуют два комплексных корня.

Метод уравнения квадратного уравнения с помощью замены

Метод замены переменной широко используется для решения квадратных уравнений. Ведь в некоторых случаях он позволяет найти корни выражения быстрее и проще.

Выбираем переменную, которую будем заменять.
Выводим формулу для замены через новую переменную.
Подставляем формулу в уравнение.
Решаем выражение относительно введенной переменной.
Находим значение начальной переменной.
Использование формул Виета для нахождения корней

Использование теоремы Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета используется для решения сводных квадратных уравнений (где коэффициент a=1).

Сумма корней квадратного уравнения будет равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней будет равно свободному члену.

Формула Виета выглядит так:

a²+bx+q=0, тоді

x₁⋅x₂=c;

x₁+x₂=-b.

Да, квадратные уравнения чрезвычайно важны в математике. Иногда они могут быть непростыми, но усвоение этой темы станет основой дальнейшего развития своих навыков и знаний в алгебре. Учиться всегда лучше под руководством опытного человека, который знает, как овладеть темой максимально быстро. Поэтому если возникают трудности, выбирайте себе репетитора по математике и стремительно достигайте новых вершин.