Все о пропорциях и их свойствах

В решении задач по математике тема пропорций фигурирует очень часто. Да, в задачах нередко нужно найти процентное соотношение, масштаб. Иногда эти знания могут даже пригодиться для вывода формул или теорем. На самом деле, тема не слишком сложная, хотя и требует вдумчивого изучения. В этой статье разберемся, что такое пропорции и как с ними работать.

Основные свойства пропорций и их использование в решении задач

Под пропорцией в математике понимают равенство двух отношений.

Такое равенство имеет общий вид:

a : b = с : d,

Читать выражение нужно так: a соотносится к b равно как и c к d.

В данном примере a и d – крайние члены пропорции, а b и c – средние.

Основное свойство пропорций состоит в том, что произведение крайних членов будет равняться произведению средних. То есть a⋅d = b⋅c.

В целом пропорции обладают следующими свойствами:

Основная.
Свойство обращения. Можно поменять местами первый крайний член с первым средним, второй средний со вторым крайним и получить пропорцию.
Свойство перестановки. Если поменять местами крайние и средние члены, снова получится пропорция.
Свойство сложения и вычитания. Она состоит в том, что сумма первого и второго членов выражения относится непосредственно к первому и второму членам, равно как и сумма третьего и четвертого — к третьему и четвертому.

Если на любом этапе работы с пропорциями возникли вопросы, репетиторы математики могут объяснить все непонятные места и научить работать по этой теме.

Методы работы с пропорциями, решения

Для дальнейшей работы с пропорциями и решения задач следует запомнить следующие способы нахождения неизвестных членов пропорции.

Для того чтобы найти неизвестный крайний член выражения, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний.

Для нахождения неизвестного среднего компонента нужно произведение крайних членов разделить на известный средний.

Для того чтобы найти неизвестный средний компонент, если средние члены одинаковы, нужно найти квадратный корень произведения крайних членов.

На самом деле на практике все гораздо легче, чем на словах. Достаточно раз понять принцип функционирования пропорций, и в дальнейшем все задачи решаются значительно легче.

Использование разных подходов в решении задач на пропорции

Основа решения задач на пропорции – глубокое понимание связей между разными данными величинами. Чтобы выполнять такие задачи, также нужно научиться работать с пропорциями различными способами.

Основные способы, которые используются для решения задач на пропорции:

составление пропорций;
превращение пропорций;
алгебраическое решение;
графическое решение.

Особенность задач на соотношение в том, что они носят не только теоретический характер. Пропорции повсеместно встречаются в нашей жизни, быту, бизнесе. Мы встречаемся с ситуациями, когда необходимо выполнить пропорциональный обмен, распределение, сравнить цена продукта. Тема представлена в кулинарии, искусстве, шитье, ремонте, архитектуре, науке.

Примеры решения задач с помощью пропорциональных отношений

Простой пример задачи на соотношение:

За 2 кг конфет заплатили 148 грн. Сколько нужно будет заплатить за 4 кг таких конфет?

Искомый компонент этой задачи обозначаем буквой х.

Если 2 кг = 148 грн., то 4 кг = y грн.

Чтобы найти нужное значение, нужно воспользоваться основным свойством пропорций.

Имеем уравнение: 2y = 148⋅4. Значение y - 296 (грн).

Не менее важное место тема пропорций занимает и в геометрии. Она помогает понять фигуры путем выявления соотношения длин, углов, площадей, объемов. Пропорции также используются во многих теоремах.