Как решать арифметическую и геометрическую прогрессии?
Геометрическая и арифметическая прогрессия: в чем разница и как решить?
Одним из базовых понятий при работе с числовыми рядами есть прогрессия. Это не просто абстрактное понятие, а одна из ключевых концепций, позволяющая определить закономерности в разных сферах. Что такое арифметическая и геометрическая прогрессия, примеры этих понятий и правила решения – об этом подробнее в нашей статье
Арифметическая прогрессия
Для начала нужно определиться с понятием “прогрессия”. Это последовательность чисел, каждое из которых связано с предыдущим и следующим определенным образом. Арифметическая прогрессия — ряд чисел, каждое из которых можно найти, добавив к предыдущему числу d. Число d – это разница арифметической прогрессии. Простыми словами это будет выглядеть следующим образом: первое число – произвольное, второе число – к первому добавили d, третье число – ко второму добавили d.
Формула общего члена арифметической прогрессии
Для того чтобы посчитать какое значение будет у произвольного числа из прогрессии, используют следующую формулу:
an=a1+d(n-1)
Она универсальна и работает для любой арифметической прогрессии. Для вычисления нам нужно знать:
первое число - a1;
количество чисел - n;
разность прогрессии – d.
Если в условии задачи вам известно несколько чисел из числового ряда, нужно обязательно сначала обнаружить указанные выше данные. С их помощью можно сосчитать любое число в арифметической прогрессии.
Сумма арифметической прогрессии
Для вычисления суммы также существует постоянная формула. Она подходит вне зависимости от количества элементов. Выглядит она следующим образом:
Sn=(a1+an)n/2
Отметки означают соответственно:
Sn – это сумма;
a1 – первый элемент (его значение);
an – элемент, к которому включительно нужно сосчитать сумму;
n – количество элементов, сумма которых исчисляется.
Если сумма рассчитывается только для определенной части прогрессии, в формуле указывается нужное количество элементов.
Геометрическая прогрессия
Если вы справились с предыдущими формулами, самое время перейти к следующей теме — геометрической прогрессии. Принцип построения числового ряда очень схож, но вместо сложения используется умножение. То есть, в числовом ряду каждый последующий член будет равен предыдущему, который умножили на q. Число q называют знаменателем прогрессии.
Общий член геометрической прогрессии
Как и для многих других понятий в математике, для этого случая уже существует формула:
bn=b1qn-1
Отметки подобны предыдущим и означают:
bn – общий член прогрессии;
b1 – первое число в последовательности;
n – количество членов в прогрессии;
qn-1 – знаменатель прогрессии, возвышенный к степени.
При решении задач помним о последовательности выполнения действий. Сначала всегда вычисляем степень, затем подносим число к нему, а последним действием выполняем умножение чисел.
Сумма геометрической прогрессии
Для расчета суммы нужно упомянуть не только свойства степеней, но и правила работы с дробями. Существует две формулы для исчисления суммы: первая более удобна для обычных обсчетов, а вторая — для задач. Формула для расчетов выглядит следующим образом:
Sn=(bnq — b1)/(q — 1)
А формула для задач имеет вид:
Sn=b1(qn-1)/(q-1)
Отметки в формуле означают:
n – количество членов в прогрессии;
b1 – первое число;
bn – член последовательности указанного порядкового номера;
q – знаменатель.
Разница между формулами только в удобстве. Если вам нужно просто сосчитать сумму – лучше пользоваться первой формулой, ведь она проще и не имеет подъема к степени. В задачах задачи могут быть более сложными и требовать других решений. Именно поэтому формула иная, хотя ответы при вычислении по каждой из формул будут одинаковы.
Примеры решения прогрессий
Для того чтобы окончательно разобраться в работе формул, рассмотрим их на примере.
Пример 1. Как найти подходящий член прогрессии?
Вычислите первые четыре члена арифметической прогрессии и найдите седьмой член прогрессии, если a1=6, d=4.
Для начала посчитаем первые члены прогрессии, упомянув закономерность:
a1=6
a2=6+4=10
a3=10+4=14
a4=14+4=18
Далее по формуле найдем 7 число в ряду:
an=a1+d(n-1)
a7=6+4(7-1)=6+46=6+24=30
Если вдруг формулу трудно упомянуть, для маленьких чисел можно продлить счета по закономерности:
a5=18+4=22
a6=22+4=26
a7=26+4=30
Как видно из вышеперечисленных решений, можно вычислять нужный член прогрессии и без формулы, но для больших чисел это будет гораздо труднее.
Пример 2. Вычисляем сумму арифметической прогрессии
Вычислить сумму первых пяти чисел в арифметической последовательности, если a1=6, d=4.
Для расчета по формуле нам нужно знать первое число, количество членов прогрессии и пятое число в ряду (потому что нам нужна сумма первых пяти чисел). Поэтому сначала посчитаем пятый член:
an=a1+d(n-1)
a5=6+4(5-1)=6+44=6+16=22
А дальше рассчитаем сумму, подставив числа:
Sn=(a1+an)n/2=(6+22)5/2=285/2=1451=70
Воспользовавшись данными из предыдущего примера, можем проверить, действительно ли это так:
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=6+10+14+18+22=70
Ответы совпадают, следовательно, все обсчеты верны.
Пример 3. Как найти нужный член геометрической прогрессии
Вычислите первые четыре члена геометрической прогрессии и найдите седьмой член прогрессии, если b1=5, q=2
Для вычисления первой части воспользуемся закономерностями: каждый последующий член прогрессии будет равен предыдущему, умноженному на знаменатель.
b1=5
b2=52=10
b3=102=20
b4=202=40
Чтобы узнать, чему равна b7, используем формулу:
bn=b1qn-1
b7=527-1=526=5*64=320
Проверим это, используя счета как в первом варианте, без формулы:
b5=402=80
b6=802=160
b7=1602=320
Ответы совпадают.
Если речь идет о первых 5-6 числах – иногда удобнее вычислять последовательно, но если мы говорим о десятом или пятидесятом числе в последовательности – быстрее и удобнее воспользоваться формулой.
Пример 4. Ищем сумму геометрической прогрессии.
Вычислить сумму первых шести чисел в геометрической последовательности, если b1=5, q=2.
Можно, воспользовавшись предварительными расчетами, просто прибавить все числа:
Sn=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=5+10+20+40+80+160=315
Этот вариант можно использовать, когда чисел мало. А если их много, лучше воспользоваться формулой.
И вариант
Sn = bn (q-b1) / (q - 1)
Нам известен знаменатель и первый член прогрессии, но чему равна bn мы не знаем. Поэтому сначала рассчитаем этот элемент, он будет иметь порядковый номер 6, ведь нам нужна сумма 6 чисел:
bn=b1qn-1
b6=526-1=525=5*32=160
Далее подставим в формулу суммы все известные значения:
Sn = bn (q - b1) / (q - 1) = 1602-52-1 = 320-51 = 3151 = 315
Ответ совпадает, следовательно, мы все сочли правильно.
II вариант
Рассмотрим также формулу для задач:
Sn=b1 (qn-1)/(q-1)
Для нее нам нужно меньше данных – только первое число, количество чисел прогрессии и знаменатель. Подставим соответствующие значения:
Sn=b1(qn-1) / (q-1)=5(26-1)2-1=5(64-1)2-1=5631=3151=315
Ответ совпадает.
Разница между геометрической и арифметической прогрессиями
Основное отличие между прогрессиями – это способ увеличения чисел. В арифметической прогрессии числа всегда изменяются с помощью сложения, в геометрической — с использованием умножения. Разница и знаменатель прогрессий могут быть любыми, а формулы будут работать даже с большими или дробными числами. Если у вас возникают сложности в овладении прогрессией, советуем обратиться за индивидуальными занятиями. Репетиторы математики смогут объяснить даже самые сложные темы, найти индивидуальный подход к ученику, а также с радостью поделятся секретами для быстрого понимания математических тонкостей.
5 марта
Роман
Автор статьи