Умение определять самый общий делитель — одно из основных для работы с дробями. НДС может пригодиться и для решения линейных уравнений.
Наибольшим общим делителем для двух и более чисел называют максимальное значение, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.
Для записи этой конструкции используется обозначение НОД(а;b). Например: наибольшим общим делителем для чисел 18 и 24 будет число 6. В рабочую тетрадь это записывается следующим образом: НОД (18; 24) = 6.
Для быстрого и эффективного выполнения задач на нахождение НОД следует овладеть тремя алгоритмами. В дальнейшем в работе можно будет делать выбор метода, учитывая:
Репетитор математики поможет быстрее овладеть любым алгоритмом для нахождения наибольшего общего делителя.
Метод множителей или разложение на простые множители может использоваться для нахождения НОД двух и более чисел.
Суть метода состоит в том, что каждое из чисел нужно разложить на множители. Следующий шаг – поиск всех общих простых множителей для обоих чисел. Чтобы получить самый общий делитель, останется перемножить все эти числа.
Метод хоть и наиболее распространен и известен, однако он имеет свои недостатки. Да, его может быть трудно использовать для чисел, имеющих большое количество простых множителей.
Среди преимуществ метода последовательных чисел можно отметить его понятность и простоту использования. Для нахождения НОД можно воспользоваться таблицей взаимно простых чисел. В этой таблице находятся числа, наибольший общий делитель которых единица.
Алгоритму Евклида – наиболее совершенный метод нахождения крупнейшего общего делителя. Он позволяет работать даже с большими числами. В его основе лежит ряд действий деления.
Попробуем найти самый общий делитель для чисел 24 и 36 методом множителей. Разлагаем 24 на простые множители: 2 х 3 х 4. Раскладываем 32 на обычные множители: 3 х 3 х 4. Совместные множители для двух чисел - 3 и 4. 3 х 4 = 12. НСД (24; 36) = 12.
Найдем НДС для 11 и 38. Используем для этого второй способ – таблицу простых чисел. Как видим, число 11 находится в этой таблице. То есть НДД (11; 38) = 1.
Используем алгоритм Евклида для чисел 36 и 56.
Берем число 36.
Делим: 56/36 = 1 (остаток 20).
Далее делим: 36/20 = 1 (остаток 16).
Делим еще: 20/16 = 1 (остаток 4).
16/4 = 4.
После ряда действий деления, мы получили число без остатка. Следовательно, НДД (36; 56) = 4.
Да, к вопросу определения наибольшего общего делителя можно подойти с нескольких сторон. Для этого существует три основных алгоритма, с которыми можно работать в зависимости от типа задачи.
