Все про логарифмы

Логарифмы: формулы и свойства в удобном формате

Начали свое знакомство со степенями и уравнениями? В дальнейшем их решении вам обязательно понадобятся логарифмы. Это простые формулы для решения различных уравнений со степенями и корнями, которые позволяют быстро выполнять расчеты. Если вы еще не знакомы с этим понятием, но хотите узнать, советуем обратиться за помощью. Репетитор математики онлайн поможет вам в изучении новой темы, объяснит непонятные моменты и научит быстро ориентироваться в математической гавани.

Что такое логарифм?

По определению, логарифмом числа b с основанием a называют показатель степени, к которому нужно поднести a, чтобы получить b. При этом a должно быть положительным и не равно единице, соответственно b также должно быть положительным. Теперь запишем это математически:

log_ab=c

a^c=b

Каждая частица или метка логарифма имеет свое значение и название. Рассмотрим это на примерах.

Основа логарифма

Основным называют число a, которое должно быть больше нуля и не равно 1. Чтобы решить логарифм, нужно подумать, к какой степени нужно поднести основание, чтобы получить ответ. Например, в примере:

log₂32=5

Основой будет двойка. К какой степени нужно поднести 2, чтобы получить 32? Правильно, к пятому.

Нужно хорошо знать табличку умножения и уметь подносить к степени, поэтому при сложностях лучше держать перед глазами справочный материал хотя бы при первых попытках решения.

Значение логарифма

Это непосредственно ответ на пример. В логарифме значение — это степень, к которой нужно поднять основание. К примеру:

log₂32=5

Значением будет 5. То есть, чтобы получить 32, нужно поднести основу (2) к степени (5). Именно степень мы и ищем, когда работаем с логарифмами.

Аргумент логарифма

Аргументом называют число, стоящее на месте x в формуле. Это то, что получится, если основу (число) преподнести к степени (значение). В примере:

log₂32=5

Аргументом будет 32. То есть, когда мы 2 поднесем до 5 степени, получим 32. Если для значения никаких ограничений нет, то аргумент обязательно должен быть положительным — помните об этом!

Виды логарифмов

В школьном курсе по математике изучают три вида логарифмов. Давайте подробно рассмотрим каждый из них:

Обычный. На месте основания находится любое число, удовлетворяющее условиям.
Десятичный. Основание в нем всегда равно 10. Соответственно, при записи у нас появляется сокращение, вместо стандартной записи log10(100)=2 используется lg(100)=2.
Естественный. Основой выступает число е, которое иррационально и примерно равно 2.7. В таком случае вместо стандартной формулы loge(b) используется ln(b).

Зная эти отметки, вам будет гораздо легче разобраться с примерами и задачами. Запоминаем: lg – десятичный, ln – натуральный, все остальные – обычные.

Логарифмическая функция

Как и любой другой график функции, логарифмическая функция задается определенным выражением. К примеру, y=logab — это логарифмическая функция с основанием a. Основание при этом всегда должно быть положительным.

Она имеет свои функции, которые будут постоянными, независимо от значений:

Область определения – множество положительных чисел;
Область значений – множество всех действительных чисел;
Если a>1, функция возрастает по всей области определения, если a<1 — спадает.
Парное или нечетное — ни то, ни другое;
Максимальное и минимальное значение отсутствует;
Ограничения сверху или снизу отсутствуют;
Любой график всегда проходит через точку на графике (1; 0).

Свойства логарифма

Свойства логарифма — это своеобразные правила работы с ними, позволяющие упрощать и преобразовывать выражения для удобства обсчета. Каждый из них имеет свои ограничения, но работает с любыми логарифмами. Для удобства проработки формул, они приведены в табличке ниже:

Формула	Пример
log_aa=1	log₂(2)=1
log_a1=0	log₂(1)=0
log_a(bc)=log_a(b)+log_a(c)	log₂(4*8)=log₂4+log₂8=2+3=5
log_a(b/c)=log_a(b)-log_a(c)	log₂(8/4)=log₂8-log₂(4)=3-2=1
log_a(b^p)=plog_a(b)	log₂(8²)=2*log₂8=23=6
log_a^qb=(1/q) log_ab, за умови q0	log₂³8=13 log₂(8)=1/3*3=1

Приведенные выше формулы — основные, из которых можно выводить другие варианты, в зависимости от примера. Для удобства решения задач по математике рекомендуем изучить эти формулы наизусть — самостоятельно или с помощью репетитора.

Онлайн-калькуляторы логарифмов

Если вам срочно нужно решить логарифмы, а нет времени – воспользуйтесь онлайн-калькуляторами. Таких сервисов существует множество на просторах интернета. Наиболее популярными и

проверенными украинскими ресурсами являются Online MS School и Mathway. Но даже если у вас получилось найти нужный ответ на свой пример, советуем не сконцентрироваться на этих ресурсах. Лучше найти время и силы, чтобы разобраться в теме логарифмов, ведь они необходимы не только для сдачи экзамена, но и во многих областях нашей жизни.