Решать системы линейных уравнений можно множеством способов, и одним из них является метод Крамера. В его основе лежат специальные вычисления, детерминанты. Этот метод рекомендуется использовать для простых систем с минимальным числом уравнений. Главное, нужно быть точными в расчетах.
Система уравнений – это несколько уравнений, имеющих общие корни, то есть решения. Метод Крамера позволяет найти их с помощью определителей (они же D, детерминанты, визначники).
Определитель матрицы А описывается как: det(A), |А| или Δ(A)
Таблица коэффициентов, или матрица складывается путем выписывания коэффициентов из каждой переменной
Например, есть система из следующих уравнений:
3x – 5y + 2z = 10
7x + y – 4z = 3
4x – 9y + 8z = -3
Выписываем все цифры из этой системы.
3 -5 2
7 1 -4
4 -9 8
Важно: Приведите все уравнения к общему виду, где на первом месте x, на втором y, на третьем – z. В таблице один стопчик – одна переменная
Способ нахождения определителя отличается в зависимости от того, какая у нас система.
Для системы из двух уравнений будет матрица следующего вида:
a b
c d
D = a*d – b*c
Используем правило Саррюса:
Берем первые два столбика матрицы и дописываем их справа.
Дальше скучаем все диагонали вниз и вправо
Вычитаем все диагонали вниз и влево
a11 а12 a13 | a11 a12
a21 a22 a23 | a21 a22
a31 a32 a33 | a31 a32
D = (a11 * a22 * a33) + (а12 * a23 * a31) + (a13 * a21 * a32) - ( a13 * a22 * a31 ) - (a11 * a23 * a32) - (a12 * a21 * a33)
Важно! Правило Саррюса применяется только для системы из трех уравнений!
Мы не рекомендуем использовать метод Крамера для больших систем. Формулы получаются слишком коренастые, вероятность ошибиться в расчетах, соответственно, растет
Для этого мы должны понимать, что такое свободные члены:
В каждой матрице свободные члены – это те числа, что в уравнении без буквы. Обычно – после знака "=".
Например,
В этой системе уравнений, свободные члены – это -2, 1 и -7.
Для того чтобы найти Dx, Dy или Dz мы должны в матрице заменить соответствующий столбец (x, y или z) на столбик со свободными членами и найти определитель в новой матрице.
Вернемся к примеру:
Матрица для нахождения Dx – заменяем свободными членами столбик 1 (тот, где x)
-2 1 1
1 3 -1
-7 -1 2
Матрица для нахождения Dy – заменяем свободными членами столбик 2 (тот, где y)
1 -2 1
2 1 -1
1 -7 2
Матрица для нахождения Dz – заменяем свободными членами столбик 3 (тот, где z)
1 1 -2
2 3 1
1 -1 -7
Допустим в нашей системе уравнений есть всего 2 переменных. Для решения ее по способу Крамера необходимо выполнить всего несколько обычных действий. Поэтапно все выглядит так:
Метод Крамера применяют в тех ситуациях, когда нужно получить точный ответ без использования сложных преобразований. Если попрактиковаться, то такие вычисления будут производиться довольно быстро. Главное, чтобы в системе было не больше 3 уравнений. Использовать его в больших системах просто неудобно.
Несмотря на простоту, производя вычисления по методу Крамера, все равно можно допустить некоторые ошибки: