Метод Крамера для решения систем

Как использовать метод Крамера для решения систем линейных уравнений?

Решать системы линейных уравнений можно множеством способов, и одним из них является метод Крамера. В его основе лежат специальные вычисления, детерминанты. Этот метод рекомендуется использовать для простых систем с минимальным числом уравнений. Главное, нужно быть точными в расчетах.

Система уравнений – это несколько уравнений, имеющих общие корни, то есть решения. Метод Крамера позволяет найти их с помощью определителей (они же D, детерминанты, визначники).

Определитель матрицы А описывается как: det(A), |А| или Δ(A)

Что же такое способ Крамера и как он работает?

Общий алгоритм решения по методу Крамера:

Число уравнений = числу неизвестных? Если да, или уравнений больше – продолжаем
Составить таблицу коэффициентов (Цифр возле переменных)
Найти D (формула ниже)
D = 0? Если нет – продолжаем
Найти Dx
Найти Dy
Найти Dz
Найти x = Dx / D
Найти y = Dy / D
Найти z = Dz / D

Как составить таблицу коэффициентов?

Таблица коэффициентов, или матрица складывается путем выписывания коэффициентов из каждой переменной

Например, есть система из следующих уравнений:

3x – 5y + 2z = 10

7x + y – 4z = 3

4x – 9y + 8z = -3

Выписываем все цифры из этой системы.

3 -5 2

7 1 -4

4 -9 8

Важно: Приведите все уравнения к общему виду, где на первом месте x, на втором y, на третьем – z. В таблице один стопчик – одна переменная

Как найти определитель (D)?

Способ нахождения определителя отличается в зависимости от того, какая у нас система.

Определитель для системы второго порядка (2 уравнения)

Для системы из двух уравнений будет матрица следующего вида:

a b

c d

D = a*d – b*c

Определитель для системы третьего порядка (3 уравнения)

Используем правило Саррюса:

Берем первые два столбика матрицы и дописываем их справа.
Дальше скучаем все диагонали вниз и вправо
Вычитаем все диагонали вниз и влево

a11 а12 a13 | a11 a12

a21 a22 a23 | a21 a22

a31 a32 a33 | a31 a32

D = (a11 * a22 * a33) + (а12 * a23 * a31) + (a13 * a21 * a32) - ( a13 * a22 * a31 ) - (a11 * a23 * a32) - (a12 * a21 * a33)

Важно! Правило Саррюса применяется только для системы из трех уравнений!

Определитель для систем высшего порядка (4 и более уравнений)

Мы не рекомендуем использовать метод Крамера для больших систем. Формулы получаются слишком коренастые, вероятность ошибиться в расчетах, соответственно, растет

Как найти определитель по Dx, Dy или Dz

Для этого мы должны понимать, что такое свободные члены:

В каждой матрице свободные члены – это те числа, что в уравнении без буквы. Обычно – после знака "=".

Например,

В этой системе уравнений, свободные члены – это -2, 1 и -7.

Для того чтобы найти Dx, Dy или Dz мы должны в матрице заменить соответствующий столбец (x, y или z) на столбик со свободными членами и найти определитель в новой матрице.

Вернемся к примеру:

Матрица для нахождения Dx – заменяем свободными членами столбик 1 (тот, где x)

-2 1 1
1 3 -1
-7 -1 2

Матрица для нахождения Dy – заменяем свободными членами столбик 2 (тот, где y)

1 -2 1
2 1 -1
1 -7 2

Матрица для нахождения Dz – заменяем свободными членами столбик 3 (тот, где z)

1 1 -2
2 3 1
1 -1 -7

Допустим в нашей системе уравнений есть всего 2 переменных. Для решения ее по способу Крамера необходимо выполнить всего несколько обычных действий. Поэтапно все выглядит так:

Сначала нужно составить таблицу коэффициентов. У нее должны быть числа, стоящие перед переменными.
Затем следует вычислить детерминант или главный показатель. Не будем останавливаться на том, как производить такие вычисления, скажем только, что для них применяется особый метод. Но благодаря ему можно определить действительно ли в исследуемой системе уравнений только одно верное решение. Если детерминант оказывается равным 0, метод Крамера не сработает.
На третьем шаге нужно подставить значение и вычислить уровни переменные. Для этого одни столбец таблицы нужно заменить на числа, расположенные в правой части уравнения. И произвести расчеты. Таким образом производятся все последующие вычисления и в итоге становится понятно чему равны переменные.

Метод Крамера применяют в тех ситуациях, когда нужно получить точный ответ без использования сложных преобразований. Если попрактиковаться, то такие вычисления будут производиться довольно быстро. Главное, чтобы в системе было не больше 3 уравнений. Использовать его в больших системах просто неудобно.

Какие возможны ошибки?

Несмотря на простоту, производя вычисления по методу Крамера, все равно можно допустить некоторые ошибки:

Неточности в вычислениях. Даже небольшое отклонение приведет к неправильному ответу. Чтобы избежать такой ситуации, необходимо проверять каждое действие. Можно несколько раз.
Попытка использования метода, когда он точно не подходит. Если выяснилось, что детерминант равняется 0, метод Крамера окажется просто бесполезным. Лучше использовать другие способы.
В таблице перепутаны числа. Важно правильно заносить данные коэффициентов, чтобы не возникло путаницы. Если допустить ошибку хотя бы в одном числе, то будет