geometriya-kak-reshat

Как решать задачи по геометрии?

Решение задач по геометрии иногда кажется квестом. Но из любого квеста всегда есть выход. 

Предлагаем вместе пройти путь от основ геометрии к гуру решений задач. 

Прочитав эту статью, вы сможете выстроить собственную тактику нахождения решения. Стоит помнить, что успех зависит от базы знаний. 

Так что вперёд — разбирать основные нюансы и методы. 

В конце ждет бонус в виде алгоритма!

Геометрия для чайников или с чего начать изучение?

Одна из главных проблем, с которой сталкиваются ученики — перевоплощение данных в схему. Правильный чертёж — 80% успеха и репетитор по геометрии поможет раскрыть эту технику.

Общего алгоритма для решения задач не существует, поэтому нужно освоить базовою теорию, чтобы построить логическую цепочку от “дано” к решению.

Упущенные уроки геометрии больше не станут помехой успешного изучения. Репетитор поможет качественно восстановить знания или задать хороший старт для освоения геометрии с нуля.

Какие существуют геометрические объекты?

Прямая

Прямая — простая фигура, не искривляется и считается бесконечной.

Как правило, отмечаем строчной латинской буквой. Если прямая соединяет две точки — это отрезок, обозначается двумя заглавными буквами.

Например: AB (где А — начало отрезка, B — конец отрезка)

Стоит запомнить, что:

  1. Через две любые точки можно провести прямую и только одну.
  2. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
  3. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.

Расположение точки относительно прямой:

  1. точка принадлежит прямой, прямая проходит через нее, что символически обозначают: Aa;
  2. точка не принадлежит прямой, прямая не проходит через неё, что символически обозначают: Aa.

Исходя из этого, существуют прямые:

  • Пересекающийся. Прямые с одной общей точкой. Символически обозначаем — ab=A
  • Перпендикулярные. Прямые, что пересекаются под углом 90 (прямым). Обозначаем — 𝑎⊥𝑏.
  • Параллельные. Прямые без общих точек. Обозначаем — c∥d.

Отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет и начало, и конец. Обозначаем двумя заглавными буквами.

Длина — основное свойство, что означает расстояние от начальной к конечной точке.

Как правило, обозначается двумя заглавными буквами.

Виды отрезков:

  • ненаправленный;
  • направленный.

Плоскость

Плоскость — поверхность, которой принадлежит каждая прямая, соединяющую любые ее точки. Простыми словами — простая поверхность (грань пирамиды).

Две плоскости могут быть либо параллельны, либо пересекаться по прямой.

Сочетание элементарных объектов

Две пересекающиеся прямые образуют угол.

Угол — элементарная геометрическая фигура, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Градус — единица измерения угла. Максимальный или полный угол — 360 градусов.

Виды углов:

  • Прямой — угол 90°.
  • Острый — меньше 90°.
  • Тупой — больше 90°.
  • Развёрнутый — равен 180°.

Выделяют такие типы углов:

  • Смежные — два угла с одной общей стороной. Сумма смежных углов — 180°.
  • Вертикальные — два угла, стороны которого продолжают друг друга. Вертикальные углы равны.

Следует утверждение: из точки, которая не лежит на прямой, можно провести один и только один перпендикуляр к этой прямой.

Биссектриса угла — луч, берущий начало в вершине угла и делящий его на две равные части.

Основные фигуры в геометрии:

Прямоугольник, квадрат, треугольник, многоугольник, окружность и другие.

Треугольник

Треугольник — геометрическая фигура, образуется при соединении трёх прямых в точках, не принадлежащих общей прямой. Точки — вершины треугольника, отрезки — стороны.

Основные свойства треугольников:

  • Напротив большего угла лежит большая сторона.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Периметр треугольника можно вычислить с помощью формулы:

P= a+b+c, где a, b, c — длина его сторон.

Виды треугольников

Прямоугольный

Прямоугольный — треугольник, у которого один из углов прямой, а сумма двух других 90 градусов.

Прямоугольный треугольник можно считать частью прямоугольника, точнее его половиной. 

У прямоугольного треугольника медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Равнобедренный

Равнобедренный — треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний

Равносторонний — треугольник, у которого все углы и стороны равны. Длина стороны — определяет все параметры.

Основные теоремы геометрии

  1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула:

c2= a2+ b2

  1. Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Формула:

sin a=sin b=sin c=2R 

a, b, c — стороны, ,, — углы треугольника, R — радиус описанной окружности.

  1. Теорема косинусов формулируется: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Формула:

a2=b2+c2-2bccos

Что нужно знать, чтобы решить треугольник?

Термин “решить треугольник” значит найти все его элементы — стороны и углы. 

Для этого нужно:

  1. Не забывать об основных свойствах треугольника.
  2. Использовать одну из двух теорем — синусов и косинусов.

С ними вы уже ознакомились, так что перейдём к негласному правилу: чтобы решить треугольник нужны три любых числа. Не важно: стороны, углы, площадь или объем. Вот и вся магия. Возникли трудности?

Тогда, рассмотрим детальнее:

  1. Если дано три стороны, то для нахождения углов воспользуйтесь теоремой синусов или теоремой Герона для поиска площади треугольника.
  2. Если известны две стороны и угол между ними, то на помощь придет теорема синусов (либо косинусов, как вам удобнее). Поздравляю, теперь вы нашли третью сторону.
  3. Если даны два углы и одна из сторон, то для нахождения длины других сторон используем теорему синусов.
  4. Если при решении у вас есть только два числа — скорее всего третье можно высчитать из базовых свойств треугольника: либо из суммы углов (180°), либо это будет угол 90° (как раз третье число).

Не переживайте, если не можете определить, какую из теорем стоит применить для решение вашей задачи — выбирайте любую. Воспользовались одной, увидели, что не получается вернитесь к другой. 

Многоугольники

Многоугольники — геометрические фигуры различной формы.

Диагональ — отрезок, который соединяет несмежные вершины многоугольника. 

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле:

P = 2 × (a + b), где a, b — длина сторон.

Формулы для вычисления площади:

  1. S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.
  2. S = 0,5 × d2 × 𝑠𝑖𝑛, где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Квадрат

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Формулы для вычисления площади:

  1. S = а2, где a — сторона квадрата.
  2. S = d2 : 2, где d — диагональ.

Периметр квадрата: 

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Параллелограмм 

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Площадь можно определить с помощью формулы:

S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, β — угол между диагоналями. 

Формула периметра параллелограмма:

P = 2 × (a + b), где a, b — длина сторон.

Ромб

Ромб — параллелограмм с равными сторонами.

Для вычисления площади используем формулы:

  1. S = a × a × sinα или S = a2 × sinα.
  2. S = 0,5 × (d1 × d2), где d1,d2 — две диагонали. 

Периметр ромба можно найти с помощью формулы:

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Репетитор, поможет быстро и качественно разобраться во всех тонкостям и нюансах.

Окружность: круг

Окружность — геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Круг — плоская геометрическая фигура, что находится внутри окружности.

Радиус окружности — расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — отрезок, который соединяет две точки на окружности, что проходят через центр.

Важно! В любой треугольник можно вписать или описать только одну окружность.

Теперь вы знаете основы и перейдём к следующему шагу.

Практические советы: как решать задачи?

Мы уже рассмотрели разные типы фигур, так что первым шагом определяем: перед нами пространственная или задача «плоскости»?

  1. Прочитайте условия. Не торопитесь определять, что нужно найти — сосредоточьтесь на деталях.
  2. Создайте рисунок на ¼ листа тетради. Даже если задание не требует нарисуйте, иначе все смешается. На большом рисунке проще увидеть решение. 
  3. Определите, что из базовых свойств можно найти сразу: суммы углов, равенства сторон, теоремы Пифагора, теоремы синусов и т.д. 
  4. Обозначали все новые данные?! Переходите к вопросу задания.
  5. С вероятностью в 99% мы найдём ответ в 3 пункте. Если нет, тогда перед нами больше данных для решения. Теперь, лишь определяем формулы для конкретной фигуры. 

Вы решили ее, поздравляю! Советуем анализировать каждый этап сразу после решения. Это поможет вовремя выявить ошибку.

Геометрия — это легко, ведь каждый пункт подкреплен научной теорией. Возобновляя знания и придерживаясь алгоритму у вас больше не возникнет вопросов по типу «как понять геометрию» или «применить знания на практике».

24 декабря 2021
Роман avatar
Роман
Автор статьи