Сегодняшней темой нашего обзора будет производная. Производная – это одно из ключевых понятий математического анализа.
Для чего мы используем производную? Она позволяет определять скорость изменения функции в конкретной точке. Это может потребоваться как в математике, так и в физике - для определения скорости и ускорения движения, биологии - для моделирования роста популяции, экономике - для анализа изменений цен и прибыли и других отраслях, например, для оптимизации или прогнозирования.
С чего начать учить понятие производной? Для изучения производной следует начать с понимания основных правил дифференцировки, а также запомнить производные базовых функций, являющихся основой так называемой «таблицы производных».
Если представить, что график это кривая дорога, то производная функции в точке помогает нам вычислить, где и как этот путь поднимается и падает, а также оценить скорость этого изменения, направление роста и убывания функции.
Для начала дайте запомним следующие правила:
Производная от константы равна нулю
Выражение | Производная |
(с) | 0 |
Производная от переменной (х) равна 1 (единице)
Выражение | Производная |
(х) | 1 |
Производная от произведения функции на постоянную равна произведению постоянной, умноженной на производную функции
Выражение | Производная |
(c·f(x))' | c·f '(x) |
Производная суммы равна сумме производных
Выражение | Производная |
(f(x) + g(x))' | f '(x) + g '(x) |
Производная разницы равна разнице производных
Выражение | Производная |
(f(x) – g(x))' | f '(x) – g '(x) |
Производная произведения рассчитывается следующим образом:
Выражение | Производная |
(f(x)·g(x))' | f '(x)·g(x) + f(x)·g '(x) |
Производная при делении рассчитывается следующим образом
Выражение | Производная |
(f(x)/g(x))' | (f '(x)·g(x) – f(x)·g '(x)) / g²(x) |
Выражение | Производная |
(c) | 0 |
(x) | 1 |
(c·f(x)) | c·f′(x) |
(f(x) ± g(x)) | f′(x) ± g′(x) |
(f(x)·g(x)) | f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x) |
(f(x)/g(x)) | (f′(x)·g(x) – f(x)·g′(x)) / g²(x) |
(f(g(x))) | f′(g(x))·g′(x) |
Функция f(x) | Производная f′(x) |
C | 0 |
X | 1 |
xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
√x | 1 / (2√x) |
1/x | -1/x² |
eˣ | eˣ |
aˣ | aˣ·ln(a) |
ln(x) | 1/x |
logₐ(x) | 1 / (x·ln(a)) |
sin(x) | cos(x) |
cos(x) | -sin(x) |
tg(x) | 1 / cos²(x) |
ctg(x) | -1 / sin²(x) |
arcsin(x) | 1 / √(1 - x²) |
arccos(x) | -1 / √(1 - x²) |
arctg(x) | 1 / (1 + x²) |
arcctg(x) | -1 / (1 + x²) |
sinh(x) | cosh(x) |
cosh(x) | sinh(x) |
tanh(x) | 1 - tanh²(x) |
(3x²)′ = 3·2x = 6x
(sin(x²))′ = cos(x²)·2x
(ln(3x))′ = (1/(3x))·3 = 1/x
(e^{5x})′ = 5·e^{5x}
Всегда проверяй знаки! Производное от cos(x) - это -sin(x), а не sin(x).
Обязательно учитывай ограничение области определения. Например, ln(x) только для x > 0.
Не забывай о правиле цепи для сложенных функций!
Особое внимание следует обратить именно на последний пункт, на правило цепи. Что это такое? Правило цепи нужно нам для того, чтобы находить производную составленных функций, то есть в тех ситуациях, когда одна функция «вложена» в другую.
Например, если y = sin(x²), то производная вычисляется как производная внешней функции (sin) по внутренней (x²), умноженная на производную внутренней функции.
Формула:
Это правило позволяет работать с очень сложными выражениями, разлагая их на более простые.
Таблица производных — это своеобразная математическая шпаргалка, значительно облегчающая жизнь студентам, учащимся и всем работающим с функциями. Ее стоит иметь под рукой, а еще лучше выучить наизусть. Благодаря этому вы сможете быстро и эффективно анализировать и решать математические задачи любой сложности.
