Уяви, що ти кидаєш м’яч уперед. Він рухається в певному напрямі, і при цьому має швидкість - це і є вектор! У цій статті ми детально розглянемо, що таке вектори, як їх рахувати, малювати і для чого вони потрібні.
Вектори — це як карта руху. Вони допомагають показати шлях (як рухається тіло), описати сили (наприклад, хто штовхає і куди),
Ми кинули мʼяч - і нам необхідно показати, куди його кинули і як сильно. Це і буде напрям вектору і довжина вектору (значення)
Вектор - це напрямлений відрізок. У нього є:
Початкова точка (де починається вектор),
Кінцева точка (де закінчується),
Напрямок (від початку до кінця),
Довжина (модуль вектора).
Скаляр - це просто число (наприклад, температура, довжина, маса), а вектор - це те, що має ще й напрям (швидкість, сила, рух).
Якщо ми йдемо 5 кроків вперед - це один вектор.
Якщо ми йдемо 3 кроки вліво - це інший вектор.
Координати вектору - це те, на скільки одиниць нас зміщує вектор. Якщо координати вектору (1,2) - значить вектор змістив точку початку на 1 одиницю по горизонталі і на 2 по вертикалі
Припустимо, вектор починається в точці A(2, 3) і закінчується в точці B(5, 7).
Щоб знайти координати вектора AB - відніми відповідні координати:
x = 5 – 2 = 3
y = 7 – 3 = 4
AB = (3, 4)
Якщо знак додатній - ми рухаємось вгору або вправо, тобто в сторону збільшення. Якщо знак додатній - рухаємось вниз або вліво, тобто в сторону зменшення.
Це просто довжина вектора, тобто довжина стрілочки в прикладі. Знаходимо її за формулою (як в теоремі Піфагора):
| a | = √(x² + y²)
Наприклад, якщо вектор a = (3, 4), то:
| a | = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Довжина вектора - це, по суті, і є велика сторона прямокутного трикутника!
Вектор може утворювати кути з осями координат. Косинуси цих кутів називають напрямними косинусами. Якщо вектор a = (x, y, z), а його довжина |a|, то:
cos α = x / | a |
cos β = y / | a |
cos γ = z / | a |
Ці значення показують, наскільки вектор "нахилений" до кожної осі.
Два вектори рівні, якщо:
Їхні координати однакові.
Вони однакової довжини.
Два вектори перпендикулярні (ортогональні), якщо кут між ними - 90°. Це означає, що їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Це вектори, які лежать на одній прямій або паралельні. Один вектор можна отримати, помноживши інший на якесь число.
Наприклад:
a = (2, 4)
b = (1, 2)
=> a = 2·b
А значить вектори колінеарні!
Щоб знайти кут між векторами a і b, використовують формулу:
cos θ = (a · b) / (| a | · | b |)
Уяви, що ти:
спочатку йдеш 4 кроки вперед,
потім ще 3 кроки вперед.
Ти скажеш: "Я пройшов 7 кроків вперед".
Це і є додавання векторів!
Якщо вектори:
a = (x1, y1), b = (x2, y2)
Якщо вектори показують в один бік — додаємо їхні довжини.
a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
Якщо в різні боки — то вийде менше, бо вони "тягнуть" у різні сторони.
a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
Можна уявити це як складання або віднімання стрілочок.
Помножити вектор на число - те саме, що посилити його, змінити напрям сили або швидкості. Ми подовжуємо або повертаємо стрілочку вектору.
Вектор × 2 — став вдвічі довшим.
Вектор × -1 — повернувся в інший бік.
Коли множимо вектор на число:
Його довжина змінюється.
Напрям лишається той самий (якщо число додатне).
k·a = (k·x, k·y)
Що таке взагалі "скаляр"? Скаляр - це число, що ніяк не показує напрямок. Швидкість 50 км/год або вага 100 кг - це скаляри, тобто просто звичайні числа
Коли дві сили "працюють разом" — ми множимо їх, щоб дізнатись, який буде сумарний вплив від двох векторів. Наприклад, якщо згадати казку про візок, який тягнуть в різні боки - скалярний добуток буде 0, тому що різні сили врівноважують одна одну.
Також, найголовніше, що показує скалярний добуток - силу, з якою один вектор направлений до іншого
Це добуток двох векторів, який дає число (не вектор):
a · b = x1*x2 + y1*y2
Або:
a · b = | a | * | b | cos θ
Векторний добуток — це інший вид множення двох векторів, але результат — це новий вектор!
Це новий вектор, який перпендикулярний до обох заданих векторів:
a × b = (y1*z2 – z1*y2; z1*x2 – x*z2; x1*y2 – y1*x2)
Базис - це основні вектори координатних осей: i, j, k. Будь-який вектор можна подати як:
a = x*i + y*j + z*k
Це зручно для роботи в просторі. Ми бачимо, скільки потрібно взяти базових векторів по кожному напрямку, щоб отримати той, який нам потрібен.
Наприклад:
Візьмемо вектор v = (3, 2)
Ми можемо записати його як:
v = 3*i + 2*j
Тобто:
Це і є розклад за базисом.
1. Для чого потрібні вектори в школі?
Щоб розуміти напрямки, сили, швидкість, кути в геометрії та фізиці.
2. Як швидко знайти довжину вектора?
Використовуй √(x² + y² + z²)
3. Що таке скаляр?
Це звичайне число. Наприклад, маса, температура, довжина.
4. Чим вектори відрізняються від скалярів?
Вектори мають напрям і довжину, скаляри - лише значення.
5. Яка різниця між скалярним і векторним добутком?
Скалярний дає число, векторний - новий вектор.
