Квадратне рівняння:
- Рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c – числа і a ≠ 0
- Способи розв’язання: через дискримінант D = b2 – 4ac (D>0 – два корені, D=0 – один корінь, D<0 – коренів немає) або через теорему Вієта для зведених рівнянь x2 + bx + c = 0 (x1+x2 = −b, x1·x2 = c)
- Графік квадратного рівняння (функції y = ax2 + bx + c) – парабола, спрямована вгору при a>0 і вниз при a<0
За допомогою квадратних рівнянь в математиці можна змоделювати різноманітні явища, розв’язувати складні задачі. Ця тема дійсно непроста у засвоєнні та викликає чимало питань. Розберімося в основних моментах, які пов’язані з квадратними рівняннями.
Квадратне рівняння має наступний вигляд ax2+ bx +c = 0. У такому виразі a, b та с – дійсні числа, а a не дорівнює нулю. Якщо a = 0, то рівняння буде не квадратним, а лінійним.
У структурі квадратного рівняння a, b та с називаються коефіцієнтами рівняння. Для того, щоб їх можна було розрізняти та виокремлювати, вони мають свої назви:
квадратичний коефіцієнт;
лінійний коефіцієнт;
вільна стала.
Кожне повне квадратне рівняння у своєму складі містить або два різні корені, або два однакові корені, або два комплексні. Також буває, що у рівняння немає дійсних коренів.
Повне квадратне рівняння – вираз, який має у своєму складі всі три доданки, тобто коефіцієнти b і c в ньому не дорівнюють нулю.
Неповне квадратне рівняння – вираз, в якому не представлені всі три доданки. Коефіцієнт b або c дорівнює нулю.
Зведене квадратне рівняння – рівняння, у якому квадратичний коефіцієнт a дорівнює 1 (тобто рівняння має вигляд x2+bx+c=0). Саме для таких рівнянь зручно застосовувати теорему Вієта.
Корінь квадратного рівняння – будь-яке значення x, при якому тричлен ax2+ bx +c перетворюється на 0.
Графік квадратного рівняння, тобто функції y = ax2+bx+c, – це парабола: її гілки спрямовані вгору, якщо a > 0, і вниз, якщо a < 0. Точки перетину параболи з віссю x і є коренями рівняння.
Що потрібно для того, щоб квадратне рівняння було розв’язане? Треба або знайти всі корені, або визначити, що їх немає.
Для розв’язання квадратних рівнянь використовують кілька способів. Давайте роздивимось основні. Якщо ж хочеться засвоїти тему швидше та глибше, репетитор алгебри з досвідом без проблем допоможе у цьому питанні.
Один зі способів розв’язання квадратного рівняння – пошук дискримінанта. Дискримінант – це вираз, який обчислюється за формулою: b2-4ac
При умові, якщо значення дискримінанта більше нуля, корінь буде обчислюватись за формулою:
Якщо дискримінант = 0 - корінь буде всього один.
Коли дискримінант менше нуля, та дійсних коренів немає, існують лише два комплексні корені(це вже вища математика)
Метод заміни змінної широко використовується для розв’язання квадратних рівнянь. Адже в деяких випадках він дозволяє знайти корені виразу швидше та простіше.
Обираємо змінну, яку будемо замінювати.
Виводимо формулу для заміни через нову змінну.
Підставляємо формулу в рівняння.
Розв’язуємо вираз відносно введеної змінної.
Знаходимо значення початкової змінної.
Теорема Вієта використовується для розв’язання зведених квадратних рівнянь (де коефіцієнт a=1).
Сума коренів квадратного рівняння буде дорівнювати другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнюватиме вільному члену.
Формула Вієта виглядає так:
x2+bx+c=0, тоді
x1⋅x2=c;
x1+x2=-b.
Перевірити розв’язання або швидко знайти корені можна за допомогою калькулятора квадратних рівнянь Wolfram Alpha – він не лише видає відповідь, а й показує покрокове розв’язання.
Так, квадратні рівняння надзвичайно важливі в математиці. Іноді вони можуть бути непростими, але засвоєння цієї теми стане основою для подальшого розвитку своїх навичок та знань в алгебрі. Навчатись завжди краще під керівництвом досвідченої людини, яка знає, як опанувати тему максимально швидко. Тому, якщо виникають труднощі, обирайте собі репетитора з математики та стрімко досягайте нових вершин.
