Квадратні рівняння: основні види та властивості, способи розв’язання

Квадратні рівняння

За допомогою квадратних рівнянь в математиці можна змоделювати різноманітні явища, розв’язувати складні задачі. Ця тема дійсно непроста у засвоєнні та викликає чимало питань. Розберімося в основних моментах, які пов’язані з квадратними рівняннями.

Квадратні рівняння: його визначення та складові

Квадратне рівняння має наступний вигляд ax²+ bx +c = 0. У такому виразі a, b та с — дійсні числа, а a не дорівнює нулю. Якщо a = 0, то рівняння буде не квадратним, а лінійним.

У структурі квадратного рівняння a, b та с називаються коефіцієнтами рівняння. Для того, щоб їх можна було розрізняти та виокремлювати, вони мають свої назви:

квадратичний коефіцієнт;
лінійний коефіцієнт;
вільна стала.

Кожне повне квадратне рівняння у своєму складі містить або два різні корені, або два однакові корені, або два комплексні. Також буває, що у рівняння немає дійсних коренів.

Властивості та особливості квадратних рівнянь

Повне квадратне рівняння — вираз, який має у своєму складі всі три доданки, тобто коефіцієнти b і c в ньому не дорівнюють нулю.

Неповне квадратне рівняння — вираз, в якому не представлені всі три доданки. Коефіцієнт b або c дорівнює нулю.

Корінь квадратного рівняння — будь-яке значення x, при якому тричлен ax2+ bx +c перетворюється на 0.

Що потрібно для того, щоб квадратне рівняння було розв’язане? Треба або знайти всі корені, або визначити, що їх немає.

Для розв’язання квадратних рівнянь використовують кілька способів. Давайте роздивимось основні. Якщо ж хочеться засвоїти тему швидше та глибше, репетитор алгебри з досвідом без проблем допоможе у цьому питанні.

Метод вирішення квадратного рівняння за допомогою дискримінанта

Один зі способів розв’язання квадратного рівняння — пошук дискримінанта. Дискримінант — це вираз, який обчислюється за формулою: b²-4ac

При умові, якщо значення дискримінанта більше нуля, корінь буде обчислюватись за формулою:

Розв'язування квадратних рівнянь різної складності. Презентація

Якщо дискримінант = 0 - корінь буде всього один.

Коли дискримінант менше нуля, та дійсних коренів немає, існують лише два комплексні корені(це вже вища математика)

Метод розвʼязання квадратного рівняння за допомогою заміни

Метод заміни змінної широко використовується для розв’язання квадратних рівнянь. Адже в деяких випадках він дозволяє знайти корені виразу швидше та простіше.

Обираємо змінну, яку будемо замінювати.
Виводимо формулу для заміни через нову змінну.
Підставляємо формулу в рівняння.
Розв’язуємо вираз відносно введеної змінної.
Знаходимо значення початкової змінної.

Використання формул Вієта для знаходження коренів

Теорема Вієта використовується для розв’язання зведених квадратних рівнянь (де коефіцієнт a=1).

Сума коренів квадратного рівняння буде дорівнювати другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнюватиме вільному члену.

Формула Вієта виглядає так:

a²+bx+q=0, тоді

x₁⋅x₂=c;

x₁+x₂=-b.

Так, квадратні рівняння надзвичайно важливі в математиці. Іноді вони можуть бути непростими, але засвоєння цієї теми стане основою для подальшого розвитку своїх навичок та знань в алгебрі. Навчатись завжди краще під керівництвом досвідченої людини, яка знає, як опанувати тему максимально швидко. Тому, якщо виникають труднощі, обирайте собі репетитора з математики та стрімко досягайте нових вершин.