Все про пропорції та їх властивості

У розв’язанні задач з математики тема пропорцій фігурує дуже часто. Так, у завданнях нерідко потрібно знайти відсоткове співвідношення, масштаб. Іноді ці знання можуть навіть знадобитись для виведення формул чи теорем. Насправді тема не надто складна, хоч і потребує вдумливого вивчення. В цій статті розберемося, що таке пропорції і як з ними працювати.

Основні властивості пропорцій та їх використання у розв'язанні задач

Під пропорцією в математиці розуміють рівність двох відношень.

Така рівність має загальний вигляд:

a : b = с : d,

Читати вираз потрібно так: a співвідноситься до b так само як і c до d.

В даному прикладі a та d — крайні члени пропорції, а b та c — середні.

Основна властивість пропорцій полягає в тому, що добуток крайніх членів буде дорівнювати добутку середніх. Тобто a⋅d = b⋅c.

Загалом пропорції мають такі властивості:

Основна.
Властивість обернення. Можна поміняти місцями перший крайній член з першим середнім, другий середній із другим крайнім, та отримати пропорцію.
Властивість переставлення. Якщо поміняти місцями крайні та середні члени, знову вийде пропорція.
Властивість додавання та віднімання. Вона полягає в тому, що сума першого та другого членів виразу відноситься безпосередньо до першого та другого членів та само, як і сума третього та четвертого — до третього та четвертого.

Якщо на будь-якому етапі роботи з пропорціями виникли питання, репетитори математики зможуть пояснити всі незрозумілі місця та навчити працювати з цієї темою.

Методи роботи з пропорціями, розв’язання

Для подальшої роботи з пропорціями та розв’язання задач варто запам’ятати такі способи знаходження невідомих членів пропорції.

Для того, щоб знайти невідомий крайній член виразу, потрібно добуток середніх членів розділити на відомий крайній.
Для знаходження невідомого середнього компонента, потрібно добуток крайніх членів розділити на відомий середній.
Для того, щоб знайти невідомий середній компонент, якщо середні члени однакові, треба знайти квадратний корінь добутку крайніх членів.

Насправді на практиці все значно легше, ніж на словах. Достатньо один раз зрозуміти принцип функціонування пропорцій, і надалі всі завдання розв’язуються значно легше.

Використання різних підходів у розв’язанні задач на пропорції

Основа розв’язання задач на пропорції — глибоке розуміння зв’язків між різними даними величинами. Щоб виконувати такі завдання також потрібно навчитись працювати з пропорціями різними способами.

Основні способи, які використовуються для розв’язання задач на пропорції:

складання пропорцій;
перетворення пропорцій;
алгебраїчне розв’язання;
графічне розв’язання.

Особливість задач на співвідношення в тому, що вони мають не лише теоретичний характер. Пропорції повсюдно зустрічаються у нашому житті, побуті, бізнесі. Ми зустрічаємося з ситуаціями, коли потрібно виконати пропорційний обмін, розподіл, зіставити вартість товару. Тема представлена в кулінарії, мистецтві, шитті, ремонті, архітектурі, науці.

Приклади розв’язання задач за допомогою пропорційних відношень

Простий приклад задачі на співвідношення:

За 2 кг цукерок заплатили 148 грн. Скільки потрібно буде заплатити за 4 кг таких цукерок?

Шуканий компонент цієї задачі позначаємо буквою х.

Якщо 2 кг = 148 грн, то 4 кг = y грн.

Щоб знайти потрібне значення, треба скористатись основною властивістю пропорцій.

Маємо рівняння: 2y = 148⋅4. Значення y — 296 (грн).

Не менш важливе місце тема пропорцій займає і в геометрії. Вона допомагає зрозуміти фігури шляхом виявлення співвідношення довжин, кутів, площ, об’ємів. Пропорції також використовуються у багатьох теоремах.