Геометрична й арифметична прогресія: в чому різниця і як розв’язати?

Одним із базових понять при роботі з числовими рядами є прогресія. Це не просто абстрактне поняття, а одна із ключових концепцій, яка дає змогу визначити закономірності у різних сферах. Що таке арифметична та геометрична прогресія, приклади цих понять та правила розв’язку — про це детальніше в нашій статті 

Арифметична прогресія

Для початку, потрібно визначитися із поняттям “прогресія”. Це послідовність чисел, кожне з яких пов’язане з попереднім та наступним певним чином. Арифметична прогресія — це ряд чисел, кожне з яких можна знайти, додавши до попереднього числа d. Число d — це різниця арифметичної прогресії. Простими словами це буде виглядати наступним чином: перше число — довільне, друге число — до першого додали d, третє число — до другого додали d. 

Формула загального члена арифметичної прогресії 

Для того, щоб порахувати яке значення буде в довільного числа з прогресії, використовують наступну формулу: 

a_n=a₁+d(n-1)

Вона універсальна, та працює для будь-якої арифметичної прогресії. Для обрахування нам потрібно знати:

• перше число — a₁; 

• кількість чисел — n;

• різницю прогресії — d.

Якщо в умові задачі вам відомо декілька чисел з числового ряду, потрібно обов’язково спочатку знайти зазначені вище дані. З їх допомогою можна порахувати будь-яке число в арифметичній прогресії.

Обрахування суми арифметичної прогресії

Для обрахування суми також існує стала формула. Вона підходить незалежно від кількості елементів. Виглядає вона наступним чином: 

Позначки означають, відповідно:

• S_n — це сума;

• a₁ — перший елемент (його значення);

• a_n — елемент, до якого включно потрібно порахувати суму;

• n — кількість елементів, сума яких обраховується. 

Якщо сума обраховується лише для певної частини прогресії, у формулі вказується лише потрібна кількість елементів. 

Геометрична прогресія

Якщо ви вже впоралися з попередніми формулами, саме час перейти до наступної теми — геометричної прогресії. Принцип побудови числового ряду дуже схожий, але замість додавання використовується множення. Тобто, в числовому ряді кожен наступний член буде дорівнювати попередньому, який помножили на q. Число q називають знаменником прогресії. 

Як знайти загальний член геометричної прогресії

Як і для багатьох інших понять в математиці, для цього випадку вже існує формула: 

b_n=b₁q^n-1

Позначки подібні до попередніх і означають:

• b_n — загальний член прогресії;

• b₁ — перше число в послідовності;

• n — кількість членів в прогресії;

• q^n-1 — знаменник прогресії, піднесений до степеня. 

При розв’язуванні задач пам’ятаємо про послідовність виконання дій. Спочатку завжди обраховуємо степінь, потім — підносимо число до нього, а останньою дією виконуємо множення чисел.

Шукаємо суму геометричної прогресії

Для обрахування суми потрібно згадати не лише властивості степенів, а й правила роботи з дробами. Існує дві формули для обрахування суми: перша зручніша для звичайних обрахувань, а друга — для задач. Формула для обрахунків виглядає наступним чином:

S_n=(b_nq — b_1)/(q — 1)

А формула для задач має вигляд: 

S_n=b₁(qⁿ-1)/(q-1)

Позначки у формулі означають:

• n — кількість членів у прогресії; 

• b₁ — перше число;

• b_n — член послідовності вказаного порядкового номера;

• q — знаменник.

Різниця між формулами лише у зручності. Якщо вам потрібно просто порахувати суму — краще користуватися першою формулою, адже вона простіша і не має піднесення до степеня. У задачах завдання можуть бути складнішими та вимагати інших рішень. Саме тому, формула інакша, хоча відповіді при обрахуванні за кожною з формул будуть однакові. 

Приклади розв’язування прогресій 

Для того, щоб остаточно розібратися в роботі формул, розгляньмо їх на прикладі. 

Приклад 1. Як знайти потрібний член прогресії?

Обчисліть перших чотири члени арифметичної прогресії та знайдіть сьомий член прогресії, якщо a₁=6, d=4.

Для початку порахуємо перші члени прогресії, згадавши закономірність:

a₁=6

a₂=6+4=10

a₃=10+4=14

a₄=14+4=18

Далі за формулою знайдемо 7 число в ряді:

a_n=a₁+d(n-1)

a₇=6+4(7-1)=6+46=6+24=30

Якщо раптом формулу важко згадати, для маленьких чисел можна продовжити обрахунки за закономірністю:

a₅=18+4=22

a₆=22+4=26

a₇=26+4=30

Як видно із написаних вище розв’язків, можна обраховувати потрібний член прогресії й без формули, але для великих чисел це буде набагато важче. 

Приклад 2. Обчислюємо суму арифметичної прогресії

Обрахувати суму перших п’яти чисел в арифметичній послідовності, якщо a₁=6, d=4.

Для обрахування за формулою нам потрібно знати перше число, кількість членів прогресії та п’яте число в ряді (бо нам потрібна сума перших п’яти чисел). Тому спочатку порахуємо п’ятий член: 

a_n=a₁+d(n-1)

a₅=6+4(5-1)=6+44=6+16=22

А далі обрахуємо суму, підставивши числа:

S_n=(a₁+a_n)n/2=(6+22)5/2=285/2=1451=70

Скориставшись даними з попереднього прикладу, можемо перевірити, чи дійсно це так: 

S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=6+10+14+18+22=70

Відповіді збігаються, отже, всі обрахунки вірні. 

Приклад 3. Як знайти потрібний член геометричної прогресії

Обчисліть перших чотири члени геометричної прогресії та знайдіть сьомий член прогресії, якщо b1=5, q=2

Для обрахування першої частини скористаємося закономірностями: кожен наступний член прогресії буде дорівнювати попередньому, помноженому на знаменник. 

b₁=5

b₂=52=10

b₃=102=20

b₄=202=40

Щоб дізнатися, чому дорівнює b7, використаємо формулу:

b_n=b₁q^n-1

b₇=527-1= 526=5*64=320

Перевіримо це, використовуючи обрахунки як у першому варіанті, без формули:

b₅=402=80

b₆=802=160

b₇=1602=320

Відповіді збігаються. 

Якщо мова йде про перших 5-6 чисел — іноді зручніше обраховувати послідовно, але якщо ми говоримо про десяте або п'ятдесяте число в послідовності — швидше і зручніше скористатися формулою. 

Приклад 4. Шукаємо суму геометричної прогресії.

Обрахувати суму перших шести чисел в геометричній послідовності, якщо b₁=5, q=2.

Можна, скориставшись попередніми обрахунками, просто додати усі числа: 

S_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆+b₇=5+10+20+40+80+160=315

Цей варіант можна застосовувати, коли чисел мало. А якщо їх багато, краще користуватися формулою.

І варіант

Sn=b_{n (}q—b_{1) / (}q — 1)

Нам відомий знаменник та перший член прогресії, але чому дорівнює bn ми не знаємо. Тому спочатку обрахуємо цей елемент, він буде мати порядковий номер 6, адже нам потрібна сума 6 чисел:

b_n=b₁q^n-1

b⁶=526-1= 525=5*32=160

Далі підставимо в формулу суми всі відомі значення: 

Sn=b_{n (}q — b_{1) / (}q — 1)=1602-52-1=320-51=3151=315

Відповідь збігається, отже, ми все порахували правильно. 

II варіант

Розгляньмо також формулу для задач: 

S_n=b₁ (qⁿ-1) / (q-1)

Для неї нам потрібно менше даних — лише перше число, кількість чисел прогресії та знаменник. Підставимо відповідні значення:

S_n=b₁(q_n-1) / (q-1)=5(26-1)2-1=5(64-1)2-1=5631=3151=315

Відповідь збігається. 

Різниця між геометричною та арифметичною прогресіями

Основна відмінність між прогресіями — це спосіб збільшення чисел. В арифметичній прогресії числа завжди змінюються за допомогою додавання, в геометричній — з використанням множення. Різниця та знаменник прогресій можуть бути будь-якими, а формули будуть працювати навіть з великими або дробовими числами. Якщо у вас виникають складнощі в опановуванні прогресії, радимо звернутися за індивідуальними заняттями. Репетитори математики зможуть пояснити навіть найскладніші теми, знайдуть індивідуальний підхід до учня, а також з радістю поділяться секретами для швидкого розуміння математичних тонкощів.