Одним із базових понять при роботі з числовими рядами є прогресія. Це не просто абстрактне поняття, а одна із ключових концепцій, яка дає змогу визначити закономірності у різних сферах. Що таке арифметична та геометрична прогресія, приклади цих понять та правила розв’язку — про це детальніше в нашій статті.
Якщо у вас виникають складнощі в опановуванні прогресії, радимо звернутися за індивідуальними заняттями. Репетитори математики зможуть пояснити навіть найскладніші теми, знайдуть індивідуальний підхід до учня, а також з радістю поділяться секретами для швидкого розуміння математичних тонкощів.
Для початку, потрібно визначитися із поняттям “прогресія”. Це послідовність чисел, кожне з яких пов’язане з попереднім та наступним певним чином. Арифметична прогресія — це ряд чисел, кожне з яких можна знайти, додавши до попереднього числа d. Число d — це різниця арифметичної прогресії. Простими словами це буде виглядати наступним чином: перше число — довільне, друге число — до першого додали d, третє число — до другого додали d.
Для того, щоб порахувати яке значення буде в довільного числа з прогресії, використовують наступну формулу:
an=a1+d(n-1)
Вона універсальна, та працює для будь-якої арифметичної прогресії. Для обрахування нам потрібно знати:
перше число — a1;
кількість чисел — n;
різницю прогресії — d.
Якщо в умові задачі вам відомо декілька чисел з числового ряду, потрібно обов’язково спочатку знайти зазначені вище дані. З їх допомогою можна порахувати будь-яке число в арифметичній прогресії.
Для обрахування суми також існує стала формула. Вона підходить незалежно від кількості елементів. Виглядає вона наступним чином:
Sn=(a1+an)n/2
Позначки означають, відповідно:
Sn — це сума;
a1 — перший елемент (його значення);
an — елемент, до якого включно потрібно порахувати суму;
n — кількість елементів, сума яких обраховується.
Якщо сума обраховується лише для певної частини прогресії, у формулі вказується лише потрібна кількість елементів.
Якщо ви вже впоралися з попередніми формулами, саме час перейти до наступної теми — геометричної прогресії. Принцип побудови числового ряду дуже схожий, але замість додавання використовується множення. Тобто, в числовому ряді кожен наступний член буде дорівнювати попередньому, який помножили на q. Число q називають знаменником прогресії.
Як і для багатьох інших понять в математиці, для цього випадку вже існує формула:
bn=b1qn-1
Позначки подібні до попередніх і означають:
bn — загальний член прогресії;
b1 — перше число в послідовності;
n — кількість членів в прогресії;
qn-1 — знаменник прогресії, піднесений до степеня.
При розв’язуванні задач пам’ятаємо про послідовність виконання дій. Спочатку завжди обраховуємо степінь, потім — підносимо число до нього, а останньою дією виконуємо множення чисел.
Для обрахування суми потрібно згадати не лише властивості степенів, а й правила роботи з дробами. Існує дві формули для обрахування суми: перша зручніша для звичайних обрахувань, а друга — для задач. Формула для обрахунків виглядає наступним чином:
Sn=(bnq — b1)/(q — 1)
А формула для задач має вигляд:
Sn=b1(qn-1)/(q-1)
Позначки у формулі означають:
n — кількість членів у прогресії;
b1 — перше число;
bn — член послідовності вказаного порядкового номера;
q — знаменник.
Різниця між формулами лише у зручності. Якщо вам потрібно просто порахувати суму — краще користуватися першою формулою, адже вона простіша і не має піднесення до степеня. У задачах завдання можуть бути складнішими та вимагати інших рішень. Саме тому, формула інакша, хоча відповіді при обрахуванні за кожною з формул будуть однакові.
Для того, щоб остаточно розібратися в роботі формул, розгляньмо їх на прикладі.
Обчисліть перших чотири члени арифметичної прогресії та знайдіть сьомий член прогресії, якщо a1=6, d=4.
Для початку порахуємо перші члени прогресії, згадавши закономірність:
a1=6
a2=6+4=10
a3=10+4=14
a4=14+4=18
Далі за формулою знайдемо 7 число в ряді:
an=a1+d(n-1)
a7=6+4(7-1)=6+46=6+24=30
Якщо раптом формулу важко згадати, для маленьких чисел можна продовжити обрахунки за закономірністю:
a5=18+4=22
a6=22+4=26
a7=26+4=30
Як видно із написаних вище розв’язків, можна обраховувати потрібний член прогресії й без формули, але для великих чисел це буде набагато важче.
Обрахувати суму перших п’яти чисел в арифметичній послідовності, якщо a1=6, d=4.
Для обрахування за формулою нам потрібно знати перше число, кількість членів прогресії та п’яте число в ряді (бо нам потрібна сума перших п’яти чисел). Тому спочатку порахуємо п’ятий член:
an=a1+d(n-1)
a5=6+4(5-1)=6+44=6+16=22
А далі обрахуємо суму, підставивши числа:
Sn=(a1+an)n/2=(6+22)5/2=285/2=1451=70
Скориставшись даними з попереднього прикладу, можемо перевірити, чи дійсно це так:
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=6+10+14+18+22=70
Відповіді збігаються, отже, всі обрахунки вірні.
Обчисліть перших чотири члени геометричної прогресії та знайдіть сьомий член прогресії, якщо b1=5, q=2
Для обрахування першої частини скористаємося закономірностями: кожен наступний член прогресії буде дорівнювати попередньому, помноженому на знаменник.
b1=5
b2=52=10
b3=102=20
b4=202=40
Щоб дізнатися, чому дорівнює b7, використаємо формулу:
bn=b1qn-1
b7=527-1= 526=5*64=320
Перевіримо це, використовуючи обрахунки як у першому варіанті, без формули:
b5=402=80
b6=802=160
b7=1602=320
Відповіді збігаються.
Якщо мова йде про перших 5-6 чисел — іноді зручніше обраховувати послідовно, але якщо ми говоримо про десяте або п'ятдесяте число в послідовності — швидше і зручніше скористатися формулою.
Обрахувати суму перших шести чисел в геометричній послідовності, якщо b1=5, q=2.
Можна, скориставшись попередніми обрахунками, просто додати усі числа:
Sn=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=5+10+20+40+80+160=315
Цей варіант можна застосовувати, коли чисел мало. А якщо їх багато, краще користуватися формулою.
Sn=bn (q—b1) / (q — 1)
Нам відомий знаменник та перший член прогресії, але чому дорівнює bn ми не знаємо. Тому спочатку обрахуємо цей елемент, він буде мати порядковий номер 6, адже нам потрібна сума 6 чисел:
bn=b1qn-1
b6=526-1= 525=5*32=160
Далі підставимо в формулу суми всі відомі значення:
Sn=bn (q — b1) / (q — 1)=1602-52-1=320-51=3151=315
Відповідь збігається, отже, ми все порахували правильно.
Розгляньмо також формулу для задач:
Sn=b1 (qn-1) / (q-1)
Для неї нам потрібно менше даних — лише перше число, кількість чисел прогресії та знаменник. Підставимо відповідні значення:
Sn=b1(qn-1) / (q-1)=5(26-1)2-1=5(64-1)2-1=5631=3151=315
Відповідь збігається.
Основна відмінність між прогресіями — це спосіб збільшення чисел. В арифметичній прогресії числа завжди змінюються за допомогою додавання, в геометричній — з використанням множення. Різниця та знаменник прогресій можуть бути будь-якими, а формули будуть працювати навіть з великими або дробовими числами.
