Як вирішувати арифметичну та геометричну прогресії?

Як вирішувати арифметичну та геометричну прогресії?

Геометрична й арифметична прогресія: в чому різниця і як розв’язати?

Одним із базових понять при роботі з числовими рядами є прогресія. Це не просто абстрактне поняття, а одна із ключових концепцій, яка дає змогу визначити закономірності у різних сферах. Що таке арифметична та геометрична прогресія, приклади цих понять та правила розв’язку — про це детальніше в нашій статті.

Якщо у вас виникають складнощі в опановуванні прогресії, радимо звернутися за індивідуальними заняттями. Репетитори математики зможуть пояснити навіть найскладніші теми, знайдуть індивідуальний підхід до учня, а також з радістю поділяться секретами для швидкого розуміння математичних тонкощів. 

Арифметична прогресія

Для початку, потрібно визначитися із поняттям “прогресія”. Це послідовність чисел, кожне з яких пов’язане з попереднім та наступним певним чином. Арифметична прогресія — це ряд чисел, кожне з яких можна знайти, додавши до попереднього числа d. Число d — це різниця арифметичної прогресії. Простими словами це буде виглядати наступним чином: перше число — довільне, друге число — до першого додали d, третє число — до другого додали d. 

Формула загального члена арифметичної прогресії 

Для того, щоб порахувати яке значення буде в довільного числа з прогресії, використовують наступну формулу: 

an=a1+d(n-1)

Вона універсальна, та працює для будь-якої арифметичної прогресії. Для обрахування нам потрібно знати:

  • перше число — a1

  • кількість чисел — n;

  • різницю прогресії — d.

Якщо в умові задачі вам відомо декілька чисел з числового ряду, потрібно обов’язково спочатку знайти зазначені вище дані. З їх допомогою можна порахувати будь-яке число в арифметичній прогресії.

Обрахування суми арифметичної прогресії

Для обрахування суми також існує стала формула. Вона підходить незалежно від кількості елементів. Виглядає вона наступним чином: 

Sn=(a1+an)n/2

Позначки означають, відповідно:

  • Sn — це сума;

  • a1 — перший елемент (його значення);

  • an — елемент, до якого включно потрібно порахувати суму;

  • n — кількість елементів, сума яких обраховується. 

Якщо сума обраховується лише для певної частини прогресії, у формулі вказується лише потрібна кількість елементів. 

Геометрична прогресія

Якщо ви вже впоралися з попередніми формулами, саме час перейти до наступної теми — геометричної прогресії. Принцип побудови числового ряду дуже схожий, але замість додавання використовується множення. Тобто, в числовому ряді кожен наступний член буде дорівнювати попередньому, який помножили на q. Число q називають знаменником прогресії. 

Як знайти загальний член геометричної прогресії

Як і для багатьох інших понять в математиці, для цього випадку вже існує формула: 

bn=b1qn-1

Позначки подібні до попередніх і означають:

  • bn — загальний член прогресії;

  • b1 — перше число в послідовності;

  • n — кількість членів в прогресії;

  • qn-1 — знаменник прогресії, піднесений до степеня. 

При розв’язуванні задач пам’ятаємо про послідовність виконання дій. Спочатку завжди обраховуємо степінь, потім — підносимо число до нього, а останньою дією виконуємо множення чисел.

Шукаємо суму геометричної прогресії

Для обрахування суми потрібно згадати не лише властивості степенів, а й правила роботи з дробами. Існує дві формули для обрахування суми: перша зручніша для звичайних обрахувань, а друга — для задач. Формула для обрахунків виглядає наступним чином:

Sn=(bnq — b1)/(q — 1)

А формула для задач має вигляд: 

Sn=b1(qn-1)/(q-1)

Позначки у формулі означають:

  • n — кількість членів у прогресії; 

  • b1 — перше число;

  • bn — член послідовності вказаного порядкового номера;

  • q — знаменник.

Різниця між формулами лише у зручності. Якщо вам потрібно просто порахувати суму — краще користуватися першою формулою, адже вона простіша і не має піднесення до степеня. У задачах завдання можуть бути складнішими та вимагати інших рішень. Саме тому, формула інакша, хоча відповіді при обрахуванні за кожною з формул будуть однакові. 

Приклади розв’язування прогресій 

Для того, щоб остаточно розібратися в роботі формул, розгляньмо їх на прикладі. 

Приклад 1. Як знайти потрібний член прогресії?

Обчисліть перших чотири члени арифметичної прогресії та знайдіть сьомий член прогресії, якщо a1=6, d=4.

Для початку порахуємо перші члени прогресії, згадавши закономірність:

a1=6

a2=6+4=10

a3=10+4=14

a4=14+4=18

Далі за формулою знайдемо 7 число в ряді:

an=a1+d(n-1)

a7=6+4(7-1)=6+46=6+24=30

Якщо раптом формулу важко згадати, для маленьких чисел можна продовжити обрахунки за закономірністю:

a5=18+4=22

a6=22+4=26

a7=26+4=30

Як видно із написаних вище розв’язків, можна обраховувати потрібний член прогресії й без формули, але для великих чисел це буде набагато важче. 

Приклад 2. Обчислюємо суму арифметичної прогресії

Обрахувати суму перших п’яти чисел в арифметичній послідовності, якщо a1=6, d=4.

Для обрахування за формулою нам потрібно знати перше число, кількість членів прогресії та п’яте число в ряді (бо нам потрібна сума перших п’яти чисел). Тому спочатку порахуємо п’ятий член: 

an=a1+d(n-1)

a5=6+4(5-1)=6+44=6+16=22

А далі обрахуємо суму, підставивши числа:

Sn=(a1+an)n/2=(6+22)5/2=285/2=1451=70

Скориставшись даними з попереднього прикладу, можемо перевірити, чи дійсно це так: 

Sn=a1+a2+a3+a4+a5=6+10+14+18+22=70

Відповіді збігаються, отже, всі обрахунки вірні. 

Приклад 3. Як знайти потрібний член геометричної прогресії

Обчисліть перших чотири члени геометричної прогресії та знайдіть сьомий член прогресії, якщо b1=5, q=2

Для обрахування першої частини скористаємося закономірностями: кожен наступний член прогресії буде дорівнювати попередньому, помноженому на знаменник. 

b1=5

b2=52=10

b3=102=20

b4=202=40

Щоб дізнатися, чому дорівнює b7, використаємо формулу:

bn=b1qn-1

b7=527-1= 526=5*64=320

Перевіримо це, використовуючи обрахунки як у першому варіанті, без формули:

b5=402=80

b6=802=160

b7=1602=320

Відповіді збігаються. 

Якщо мова йде про перших 5-6 чисел — іноді зручніше обраховувати послідовно, але якщо ми говоримо про десяте або п'ятдесяте число в послідовності — швидше і зручніше скористатися формулою. 

Приклад 4. Шукаємо суму геометричної прогресії.

Обрахувати суму перших шести чисел в геометричній послідовності, якщо b1=5, q=2.

Можна, скориставшись попередніми обрахунками, просто додати усі числа: 

Sn=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=5+10+20+40+80+160=315

Цей варіант можна застосовувати, коли чисел мало. А якщо їх багато, краще користуватися формулою.

І варіант

Sn=bn (q—b1) / (q — 1)

Нам відомий знаменник та перший член прогресії, але чому дорівнює bn ми не знаємо. Тому спочатку обрахуємо цей елемент, він буде мати порядковий номер 6, адже нам потрібна сума 6 чисел:

bn=b1qn-1

b6=526-1= 525=5*32=160

Далі підставимо в формулу суми всі відомі значення: 

Sn=bn (q — b1) / (q — 1)=1602-52-1=320-51=3151=315

Відповідь збігається, отже, ми все порахували правильно. 

II варіант

Розгляньмо також формулу для задач: 

Sn=b1 (qn-1) / (q-1)

Для неї нам потрібно менше даних — лише перше число, кількість чисел прогресії та знаменник. Підставимо відповідні значення:

Sn=b1(qn-1) / (q-1)=5(26-1)2-1=5(64-1)2-1=5631=3151=315

Відповідь збігається. 

Різниця між геометричною та арифметичною прогресіями

Основна відмінність між прогресіями — це спосіб збільшення чисел. В арифметичній прогресії числа завжди змінюються за допомогою додавання, в геометричній — з використанням множення. Різниця та знаменник прогресій можуть бути будь-якими, а формули будуть працювати навіть з великими або дробовими числами. 

5 березня
Роман avatar
Роман
Автор статті