Нерівності з модулями є досить складною темою, але і в ній можна розібратися, якщо розкласти хід рішення на кілька етапів. Тоді все стане більш зрозуміло і просто.
Насправді, якщо слідувати покроковій інструкції, то будь-яку нерівність ви зможете вирішити легко. Головне максимальна увага до деталей і знаків. Але якщо у вас щось не виходить, а розібратися в цій темі потрібно, найміть репетитора з математики. Він зможе вас навчити легко вирішувати нерівності з модулями. Полюбіть рішення таких завдань і тоді весь процес здасться досить легким.
Модуль - це відстань від числа до нуля на числовій прямій.
Якщо число більше нуля - тоді модуль дорівнює числу
Якщо число менше нуля - модуль дорівнює числу без знака "-"
По суті, модуль - це кількість кроків від числа до 0. Кількість кроків не може бути від'ємною, вона завжди тільки додатня. Уяви собі лінійку, і порахуй кількість кроків від нуля до числа - це і буде модуль.
Короткий приклад: Якщо нам потрібно обчислити модуль від -7 - дивимося: яка відстань між -7 і 0? Відстань – 7 кроків. Тобто | -7 | = 7
Модуль немає негативним: | x | ≥ 0 для будь-якого x.
Тільки нуль дає модуль нуль: | 0 |= 0
Протилежні числа мають однаковий модуль: | - a |=| a |
|х| = x, якщо x ≥ 0 (число вже позитивне або нуль)
|х| = -x, якщо x < 0 (знак змінюємо на протилежний)
|x| = a
якщо a < 0 → розв’язків немає: відстань не може бути від’ємною;
якщо a ≥ 0 → два розв’язки: x = a і x = −a.
|x − c| = a
смисл: x розташоване на відстані a від точки c;
розв’язки: x = c + a або x = c − a.
|f(x)| = a
розбиваємо на два рівняння: f(x) = a або f(x) = −a;
розв’язуємо обидва й збираємо придатні корені.
|x| < a
число ближче до нуля, ніж a: −a < x < a.
|x| > a
число далі від нуля, ніж a: x < −a або x > a.
|x − c| < a
x ближче до c, ніж на a: c − a < x < c + a.
|x − c| > a
x далі від c, ніж на a: x < c − a або x > c + a.
Модуль - це відстань. Ми малюємо обидві частини графіку окремо. Якщо це рівняння (між частинами стоїть знак "=") - шукаємо перетин графіків. Якщо у нас нерівність (між частинами стоїть знак > або <), дивимось яка частина графіка вище або нижче іншої.
В чому основна ідея. Графік виразу з модулем - це звичайний графік, але усе, що нижче осі Х (горизонтальної лінії) - стираємо і дзеркально відбиваємо вгору.
Коли всередині модулів складні або тригонометричні вирази й вручну розкривати «на випадки» довго.
Коли потрібно побачити кількість коренів без точного обчислення (наприклад, для тесту).
Коли задача просить «пояснити геометрично», а не просто дати числову відповідь.
Рішення нерівностей з модулями досить складна тема, проте якщо зрозуміти основні принципи, то все стане більш ясно. Разом з цим учні часто допускають ряд помилок:
Забувають про критичні точки. Однак вони важливі, бо визначають особливості розкриття модуля.
При перетворенні модуля припускають помилки. Потрібно завжди дивитися на знак модуля.
Забувають про крайні значення. Але вони важливі для відповіді.
Роблять помилки в знаках при розкритті модуля. Наприклад, не враховують мінус, що призводить до неправильного рішення.
Щоб не допустити подібні помилки, рішення нерівності з модулями можна почати з зображення числової осі. Так буде більш зрозуміло. І на ній слід відразу відобразити критичні точки.
Крім того, слід:
Перевіряти знаки. Помилки в них приведуть до того, що нерівність буде вирішено невірно.
Перевіряти граничні значення.
Більше практики. Щоб успішно вирішувати нерівності з модулями, необхідно достатньо тренуватися. Можна починати з легких прикладів, поступово підвищуючи рівень складності.
