Почали своє знайомство зі степенями та рівняннями? В подальшому їх розв’язанні вам обов’язково знадобляться логарифми. Це прості формули для розв’язку різноманітних рівнянь зі степенями та коренями, які дають змогу швидко виконувати розрахунки. Якщо ви ще не знайомі із цим поняттям, але прагнете дізнатися, радимо звернутися за допомогою. Репетитор математики онлайн допоможе вам у вивченні нової теми, пояснить незрозумілі моменти та навчить швидко орієнтуватися у математичній гавані.
Логарифм - це спосіб відповісти на питання: у яку ступінь необхідно піднести одне число, щоб отримати інше. Це обернена операція до піднесення до степені. Тобто, якщо ax=b, то logab=x
За визначенням, логарифмом числа b з основою a називають показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. При цьому, a має бути додатнім та не дорівнювати одиниці, відповідно b також має бути додатнім.
Кожна частинка або позначка логарифма має своє значення та назву.
Властивості логарифма — це своєрідні правила роботи з ними, які дають змогу спрощувати та перетворювати вирази для зручності обрахувань. Кожна з них має свої обмеження, але працює з будь-якими логарифмами. Для зручності опрацювання формул, вони наведені в табличці нижче:
Формула | Приклад |
logaa=1 | log2(2)=1 |
loga1=0 | log2(1)=0 |
loga(bc)=loga(b)+loga(c) | log2(4*8)=log24+log28=2+3=5 |
loga(b/c)=loga(b)-loga(c) | log2(8/4)=log28-log2(4)=3-2=1 |
loga(bn)=nloga(b) | log2(82)=2*log28=23=6 |
log(aq)b=(1/q) logab, за умови q0 | log238=13 log2(8)=1/3*3=1 |
Наведені вище формули — основні, з яких можна надалі виводити інші варіанти, залежно від прикладу. Для зручності вирішення задач з математики радимо вивчити ці формули напам’ять — самостійно або за допомогою репетитора.
В шкільному курсі з математики вивчають три види логарифмів. Давайте детально розглянемо кожен з них:
Звичайний. На місці основи знаходиться будь-яке число, що відповідає умовам.
Десятковий. Основа в ньому завжди дорівнює 10. Відповідно, при записі в нас з’являється скорочення, замість стандартного запису log10(100)=2, використовується lg(100)=2.
Натуральний. Основою виступає число е, яке є ірраціональним та приблизно дорівнює 2.7. В такому випадку замість стандартної формули loge(b), використовується ln(b).
Знаючи ці позначки, вам буде набагато легше розібратися із прикладами та задачами. Запам'ятовуємо: lg — десятковий, ln — натуральний, усі інші — звичайні.
Основною називають число a, яке має бути більше нуля та не дорівнювати 1. Щоб розв’язати логарифм, потрібно подумати, до якого степеня потрібно піднести основу, щоб отримати відповідь. Наприклад, у прикладі:
log232=5
Основою буде двійка. До якого степеня потрібно піднести 2, щоб отримати 32? Правильно, до п’ятого.
Потрібно добре знати табличку множення та вміти підносити до степеня, тому в разі складнощів краще тримати перед очима довідниковий матеріал хоча б при перших спробах розв’язання.
Це безпосередньо відповідь на приклад. В логарифмі значення — це степінь, до якого потрібно піднести основу. Наприклад:
log232=5
Значенням буде 5. Тобто, щоб отримати 32, потрібно основу (2) піднести до степеня (5). Саме степінь ми й шукаємо, коли працюємо з логарифмами.
Область визначення логарифмічної функції: Всі додатні числа
Область визначення для основи логарифма: Основа має бути більше нуля і не дорівнювати одиниці
Діапазон значень логарифма: будь-які числа, додатні, відʼємні або нуль.
Аргументом називають число, яке стоїть на місці x у формулі. Це те, що вийде, якщо основу (число) піднести до степеня (значення). В прикладі:
log232=5
Аргументом буде 32. Тобто, коли ми 2 піднесемо до 5 степеня, отримаємо 32. Якщо для значення жодних обмежень немає, то аргумент обов’язково має бути додатним — пам’ятайте про це!
Як і будь-який інший графік функції, логарифмічна функція задається певним виразом. Наприклад, y=logab — це логарифмічна функція з основою a. Основа при цьому завжди має бути додатною.
Вона має свої функції, які будуть сталими, незалежно від значень:
Область визначення — множина додатних чисел;
Область значень — множина всіх дійсних чисел;
Якщо a>1, функція зростає на всій області визначення, якщо a<1 — спадає.
Парна чи непарна — ні те, ні інше;
Максимальне та мінімальне значення відсутні;
Обмеження зверху чи знизу — відсутні;
Будь-який графік завжди проходить через точку на графіку (1;0).
Простими словами: логарифм показує скільки разів треба перемножити основу сама на себе, щоб отримати задане число. Наприклад, log381=4 , бо число 3 потрібно помножити на себе 4 рази, щоб вийшло 81 (оскільки 3×3×3×3=81). Ця ідея – ключ до розуміння логарифмів.
Якщо вам терміново потрібно розв’язати логарифми, а немає часу — скористайтеся онлайн-калькуляторами. Таких сервісів існує величезна кількість на просторах інтернету. Найбільш популярними та перевіреними українськими ресурсами є Online MS School та Mathway. Але навіть якщо у вас вийшло знайти потрібну відповідь на свій приклад, радимо не концентруватися на цих ресурсах. Краще знайти час та сили, щоб розібратися в темі логарифмів, адже вони необхідні не лише для здачі іспиту, а й в багатьох сферах нашого життя.
Логарифмом числа x за основою y називають степінь, до якого треба піднести х, щоб отримати у.
Це позначення логарифма, зазвичай одразу після нього записується основа, а потім число.
Розглянемо на прикладі формули: log2(8)=3.
Шукаємо, до якого степеня потрібно піднести число 2, щоб отримати 8. Правильно, до третього! Отже, логарифм числа 8 з основою 2 дорівнює 3.
Логарифм дорівнює степеню, до якого потрібно піднести основу, щоб отримати вказане число.
Логарифм одиниці з будь-яким числом на місці основи — це нуль.
Основна галузь застосування — це програмування, хімія та фізика, а також інші сфери, де потрібно обчислювати великі числа та закономірності.
