Все про логарифми

Логарифми: формули та властивості в зручному форматі

Почали своє знайомство зі степенями та рівняннями? В подальшому їх розв’язанні вам обов’язково знадобляться логарифми. Це прості формули для розв’язку різноманітних рівнянь зі степенями та коренями, які дають змогу швидко виконувати розрахунки. Якщо ви ще не знайомі із цим поняттям, але прагнете дізнатися, радимо звернутися за допомогою. Репетитор математики онлайн допоможе вам у вивченні нової теми, пояснить незрозумілі моменти та навчить швидко орієнтуватися у математичній гавані.

Що таке логарифм?

За визначенням, логарифмом числа b з основою a називають показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. При цьому, a має бути додатнім та не дорівнювати одиниці, відповідно b також має бути додатнім. Тепер запишемо це математично:

log_ab=c

ac=b

Кожна частинка або позначка логарифма має своє значення та назву. Розгляньмо це на прикладах.

Основа логарифма

Основною називають число a, яке має бути більше нуля та не дорівнювати 1. Щоб розв’язати логарифм, потрібно подумати, до якого степеня потрібно піднести основу, щоб отримати відповідь. Наприклад, у прикладі:

log₂32=5

Основою буде двійка. До якого степеня потрібно піднести 2, щоб отримати 32? Правильно, до п’ятого.

Потрібно добре знати табличку множення та вміти підносити до степеня, тому в разі складнощів краще тримати перед очима довідниковий матеріал хоча б при перших спробах розв’язання.

Значення логарифма

Це безпосередньо відповідь на приклад. В логарифмі значення — це степінь, до якого потрібно піднести основу. Наприклад:

log₂32=5

Значенням буде 5. Тобто, щоб отримати 32, потрібно основу (2) піднести до степеня (5). Саме степінь ми й шукаємо, коли працюємо з логарифмами.

Аргумент логарифма

Аргументом називають число, яке стоїть на місці x у формулі. Це те, що вийде, якщо основу (число) піднести до степеня (значення). В прикладі:

log₂32=5

Аргументом буде 32. Тобто, коли ми 2 піднесемо до 5 степеня, отримаємо 32. Якщо для значення жодних обмежень немає, то аргумент обов’язково має бути додатним — пам’ятайте про це!

Які є логарифми?

В шкільному курсі з математики вивчають три види логарифмів. Давайте детально розглянемо кожен з них:

Звичайний. На місці основи знаходиться будь-яке число, що відповідає умовам.
Десятковий. Основа в ньому завжди дорівнює 10. Відповідно, при записі в нас з’являється скорочення, замість стандартного запису log10(100)=2, використовується lg(100)=2.
Натуральний. Основою виступає число е, яке є ірраціональним та приблизно дорівнює 2.7. В такому випадку замість стандартної формули loge(b), використовується ln(b).

Знаючи ці позначки, вам буде набагато легше розібратися із прикладами та задачами. Запам'ятовуємо: lg — десятковий, ln — натуральний, усі інші — звичайні.

Логарифмічна функція

Як і будь-який інший графік функції, логарифмічна функція задається певним виразом. Наприклад, y=log_ab — це логарифмічна функція з основою a. Основа при цьому завжди має бути додатною.

Вона має свої функції, які будуть сталими, незалежно від значень:

Область визначення — множина додатних чисел;
Область значень — множина всіх дійсних чисел;
Якщо a>1, функція зростає на всій області визначення, якщо a<1 — спадає.
Парна чи непарна — ні те, ні інше;
Максимальне та мінімальне значення відсутні;
Обмеження зверху чи знизу — відсутні;
Будь-який графік завжди проходить через точку на графіку (1;0).

Властивості логарифма

Властивості логарифма — це своєрідні правила роботи з ними, які дають змогу спрощувати та перетворювати вирази для зручності обрахувань. Кожна з них має свої обмеження, але працює з будь-якими логарифмами. Для зручності опрацювання формул, вони наведені в табличці нижче:

Формула	Приклад
log_aa=1	log₂(2)=1
log_a1=0	log₂(1)=0
log_a(bc)=log_a(b)+log_a(c)	log₂(4*8)=log₂4+log₂8=2+3=5
log_a(b/c)=log_a(b)-log_a(c)	log₂(8/4)=log₂8-log₂(4)=3-2=1
log_a(b^p)=plog_a(b)	log₂(8²)=2*log₂8=23=6
log_a^qb=(1/q) log_ab, за умови q0	log₂³8=13 log₂(8)=1/3*3=1

Наведені вище формули — основні, з яких можна надалі виводити інші варіанти, залежно від прикладу. Для зручності вирішення задач з математики радимо вивчити ці формули напам’ять — самостійно або за допомогою репетитора.

Онлайн-калькулятори логарифмів

Якщо вам терміново потрібно розв’язати логарифми, а немає часу — скористайтеся онлайн-калькуляторами. Таких сервісів існує величезна кількість на просторах інтернету. Найбільш популярними та перевіреними українськими ресурсами є Online MS School та Mathway. Але навіть якщо у вас вийшло знайти потрібну відповідь на свій приклад, радимо не концентруватися на цих ресурсах. Краще знайти час та сили, щоб розібратися в темі логарифмів, адже вони необхідні не лише для здачі іспиту, а й в багатьох сферах нашого життя.