Розв'язувати системи лінійних рівнянь можна безліччю способів, і одним з них є метод Крамера. В його основі лежать спеціальні обчислення, детермінанти. Цей метод рекомендується застосовувати для простих систем з мінімальним числом рівнянь. Головне, потрібно бути точними в розрахунках.
Система рівнянь - це декілька рівнянь, що мають спільні корені, тобто рішення. Метод Крамера дозволяє знайти їх за допомогою визначників ( вони ж D, детермінанти).
Визначник матриці А визначається як: det(A), |А| или Δ(A)
Таблиця коефіцієнтів, або ж матриця складається шляхом виписування коефіцієнтів з кожної змінної
Наприклад є система з таких рівнянь:
3x - 5y + 2z = 10
7x + y - 4z = 3
4x - 9y + 8z = -3
Виписуємо всі цифри з цієї системи.
3 -5 2
7 1 -4
4 -9 8
Важливо: Приведіть усі рівняння до спільного вигляду, де на першому місці x, на другому y, на третьому - z. В таблиці один стопчик - одна змінна
Спосіб знаходження визначника відрізняється в залежності від того, яка у нас система
Для системи з двох рівнянь буде матриця наступного вигляду:
a b
c d
D = a*d - b*c
Використовуємо правило Саррюса:
a11 а12 a13 | a11 a12
a21 a22 a23 | a21 a22
a31 a32 a33 | a31 a32
D = (a11 * a22 * a33) + (а12 * a23 * a31) + (a13 * a21 * a32) - ( a13 * a22 * a31 ) - (a11*a23*a32) - (a12*a21*a33)
Важливо! Правило Саррюса застосовується тільки для системи з трьох рівнянь!
Ми не рекомендуємо використувати метод Крамера для великих систем. Формули виходять надто кремезні, вірогідність помилитись у розрахунках, відповідно, зростає
Для цього ми маємо розуміти, що таке вільні члени:
В кожній матриці вільні члени - це ті числа, що в рівнянні без букви. Зазвичай - після знака "=".
Наприклад,
В цій системі рівнянь, вільні члени - це -2, 1 і -7.
Для того, щоб знайти Dx, Dy чи Dz ми маємо в матриці замінити відповідний стовпчик (x,y чи z) на стовпчик з вільними членами і знайти визначник у новій матриці.
Повернемося до прикладу:
Матриця для знаходження Dx - замінюємо вільними членами стовпчик 1 (той, де x)
-2 1 1
1 3 -1
-7 -1 2
Матриця для знаходження Dy - замінюємо вільними членами стовпчик 2 (той, де y)
1 -2 1
2 1 -1
1 -7 2
Матриця для знаходження Dz - замінюємо вільними членами стовпчик 3 (той, де z)
1 1 -2
2 3 1
1 -1 -7
Припустимо в нашій системі рівнянь є всього 2 змінних. Для вирішення її за методом Крамера потрібно виконати всього кілька простих дій. Поетапно все виглядає так:
Спочатку потрібно скласти таблицю коефіцієнтів. У неї повинні бути числа, що стоять перед змінними.
Потім потрібно обчислити детермінант або головний показник. Не будемо зупинятися на тому, як робити такі обчислення, скажемо тільки, що для них застосовується особливий метод. Але завдяки йому можна визначити чи дійсно в досліджуваній системі рівнянь тільки одне вірне рішення. Якщо детермінант виявляється рівним 0, то метод Крамера не спрацює.
На третьому кроці потрібно підставити значення та обчислити чому рівні змінні. Для цього потрібно одні стовпець таблиці замінити на числа, розташовані в правій частині рівняння. І провести розрахунки. Таким чином виробляються всі наступні обчислення і в підсумку стає зрозуміло чому рівні змінні.
Метод Крамера застосовують в тих ситуаціях, коли потрібно отримати точну відповідь, без використання складних перетворень. Якщо попрактикуватися, то такі обчислення будуть проводитися досить швидко. Головне, щоб у системі було не більше 3 рівнянь. Використовувати його на великих системах просто незручно.
Попри простоті, виробляючи обчислення за методом Крамера, все одно можна допустити деякі помилки:
Неточності в обчисленнях. Навіть невелике відхилення призведе до неправильної відповіді. Щоб такої ситуації уникнути, необхідно перевіряти кожну дію. Можна по кілька разів.
Спроба використання методу тоді, коли він точно не підходить. Якщо з'ясувалося, що детермінант дорівнює 0, метод Крамера виявиться просто марним. Краще використовувати інші методи.
У таблиці переплутані числа. Важливо правильно заносити дані коефіцієнтів, щоб не виникло плутанини. Якщо припуститися помилки хоча б в одному числі, то буде помилка при вирішенні рівнянь.
Метод Крамера насправді не є складним. Але він підходить лише для невеликих систем рівнянь. Працюючи з ним, потрібно проявити увагу до цифр.
Ми описали алгоритм як працювати з цим методом. Спробуйте потренуватися в його застосуванні. Якщо щось не вийде, завжди можна вибрати репетитора з математики, який допоможе у розв'язання таких питань. Він зможе детально пояснити як працює метод Крамера і як правильно його застосовувати на практиці. Використовуйте цей зручний метод, щоб спростити рішення лінійних рівнянь.
