Сьогодні ми розглянемо одне з основних понять математичного аналізи – інтеграли. Без них важко уявити сучасну науки, оскільки інтеграли є основою як математики, так і інженерії, економіки, для моделювання доходів та витрат, фізики, для обчислення роботи сили, шляху при змінній швидкості та електричного заряду, та біології і навіть медицині для аналізу електрокардіограм.
Інтеграл функції – це певна узагальнена сума нескінченно малих елементів. Є два види інтегралів: визначений та невизначений. Невизначений інтеграл функції f(x) – це первісна функція F(x), похідна якої дорівнює f(x):
∫f(x)dx = F(x) + C
Де С – довільна константа. Це вид інтегралів найчастіше зустрічається у навчанні. Щоб краще зрозуміти інтеграл, його можна уявити як зворотний процес до диференціювання. Відповідно, якщо ми знаємо похідну – ми можемо «відновити» її початкову функцію
Функція f(x) | Інтеграл ∫f(x)dx |
0 | C |
1 | x + C |
xⁿ (n ≠ -1) | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C |
1/x | ln|x| + C |
eˣ | eˣ + C |
aˣ | aˣ / ln(a) + C |
sin(x) | -cos(x) + C |
cos(x) | sin(x) + C |
1 / cos²(x) | tg(x) + C |
1 / sin²(x) | -ctg(x) + C |
sec(x)·tg(x) | sec(x) + C |
cosec(x)·ctg(x) | -cosec(x) + C |
1 / √(1 - x²) | arcsin(x) + C |
1 / (1 + x²) | arctg(x) + C |
1 / x√(x² - 1) | arcsec(x) + C |
Інтеграл допомагає нам знаходити площу, об’єм, проводити аналіз графіків функцій, а також описувати рух тіл і обчислювати накопичені величини.
Уяви, що графік функції – це своєрідний ландшафт, а інтеграл – це площа під цим ландшафтом. Якщо похідна показує нахил дороги в кожній точці, через яку ти йдеш, то інтеграл показує скільки ти «накопичив» пройденого шляху від початку. В свою чергу, таблиця інтегралів – це карта для обчисленнях таких «накопичень».
∫x² dx = x³ / 3 + C — знаходження площі під параболою.
2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C — приклад із гармонічних коливань.
3. ∫1/x dx = ln|x| + C — зворотня функція до логарифму.
4. ∫e^{2x} dx = (1/2)·e^{2x} + C — використовують в економіці та моделюванні росту.
5. ∫(x + 1)² dx = ∫(x² + 2x + 1) dx = x³/3 + x² + x + C
Завжди перевіряй результат, диференціюючи його.
Не забувай додавати константу С. Це обов’язковий елемент у кожному невизначеному інтегралі.
Обов’язково перевіряй правильність використання формули степеневого інтегралу.
Не пропускай модуль у логарифмі: ln|x|. Це може призвести до помилок у визначенні області
Тренуйся у застосуванні методу підстановки або інтегрування частинами у складніших виразах
У багатьох випадках функція, яку потрібно інтегрувати, є не простою, а складеною, тобто має вигляд f(g(x)). У таких ситуаціях застосовується метод підстановки (заміни змінної). Це дозволяє спростити вираз до стандартного вигляду, який уже є в таблиці інтегралів. Наприклад, щоб інтегрувати вираз ∫cos(3x) dx, достатньо зробити заміну u = 3x, і результат буде (1/3)·sin(3x) + C. Такий підхід дуже потужний і часто використовується у складних математичних задачах та ЗНО.
Таким чином, таблиця інтегралів – це ключовий інструмент у математичному аналізі, який знадобиться всім, хто його вивчає. Ця таблиця допомагає нам знайти потрібну первісну и перевірити обчислення. Для того, щоб правильно працювати з інтегралами, варто не просто знати вищезазначені формули, а, в першу чергу, розуміти логіку їх застосування та зв’язок із похідними.
