Сьогоднішньою темою нашого огляду буде похідна. Похідна – це одне з ключових понять математичного аналізу.
Для чого ми використовуємо похідну? Вона дозволяє нам визначати швидкість зміни функції у конкретній точці. Це може знадобитися як у математиці, так і фізиці - для визначення швидкості та прискорення руху, біології - для моделювання росту популяції, економіці – для аналізу змін цін і прибутку та інших галузях, наприклад, для оптимізації чи прогнозування.
З чого почати вивчати поняття похідної? Для вивчення похідної варто почати з розуміння основних правил диференціювання, а також запам’ятати похідні базових функцій, які є основою так званої «таблиці похідних».
Якщо уявити, що графік це крива дорога, то похідна функції в точці допомагає нам обчислити, де і як ця дорога піднімається і спадає, а також оцінити швидкість цієї зміни, напрямок росту і спадання функції.
Для початку давайте запам’ятаємо наступні правила:
Похідна від сталої дорівнює 0 (нулю):
Вираз | Похідна |
(с) | 0 |
Похідна від змінної х дорівнює 1 (одиниці):
Вираз | Похідна |
(х) | 1 |
Похідна добутку функції на сталу дорівнює добутку сталої на похідну функції:
Вираз | Похідна |
(c·f(x))' | c·f '(x) |
Похідна суми дорівнює сумі похідних:
Вираз | Похідна |
(f(x) + g(x))' | f '(x) + g '(x) |
Похідна різниці дорівнює різниці похідних:
Вираз | Похідна |
(f(x) – g(x))' | f '(x) – g '(x) |
Похідна добутку рахується наступним чином:
Вираз | Похідна |
(f(x)·g(x))' | f '(x)·g(x) + f(x)·g '(x) |
Похідна частки рахується наступим чином:
Вираз | Похідна |
(f(x)/g(x))' | (f '(x)·g(x) – f(x)·g '(x)) / g²(x) |
Вираз | Похідна |
(c) | 0 |
(x) | 1 |
(c·f(x)) | c·f′(x) |
(f(x) ± g(x)) | f′(x) ± g′(x) |
(f(x)·g(x)) | f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x) |
(f(x)/g(x)) | (f′(x)·g(x) – f(x)·g′(x)) / g²(x) |
(f(g(x))) | f′(g(x))·g′(x) |
Функція f(x) | Похідна f′(x) |
C | 0 |
X | 1 |
xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
√x | 1 / (2√x) |
1/x | -1/x² |
eˣ | eˣ |
aˣ | aˣ·ln(a) |
ln(x) | 1/x |
logₐ(x) | 1 / (x·ln(a)) |
sin(x) | cos(x) |
cos(x) | -sin(x) |
tg(x) | 1 / cos²(x) |
ctg(x) | -1 / sin²(x) |
arcsin(x) | 1 / √(1 - x²) |
arccos(x) | -1 / √(1 - x²) |
arctg(x) | 1 / (1 + x²) |
arcctg(x) | -1 / (1 + x²) |
sinh(x) | cosh(x) |
cosh(x) | sinh(x) |
tanh(x) | 1 - tanh²(x) |
(3x²)′ = 3·2x = 6x
(sin(x²))′ = cos(x²)·2x
(ln(3x))′ = (1/(3x))·3 = 1/x
(e^{5x})′ = 5·e^{5x}
Завжди перевіряй знаки! Похідна від cos(x) — це -sin(x), а не sin(x).
Обов’язково враховуй обмеження області визначення. Наприклад, ln(x) лише для x > 0.
Не забувай про правило ланцюга для складених функцій!
Окрему увагу слід звернути саме на останній пункт, на правило ланцюга. Що це таке? Правило ланцюга потрібно нам для того, щоб знаходити похідну складених функцій, тобто у тих ситуаціях, коли одна функція «вкладена» в іншу.
Наприклад, якщо y = sin (x²), то похідна обчислюється як похідна зовнішньої функції (sin) по внутрішній (x²), помножена на похідну внутрішньої функції.
Формула:
Це правило дозволяє працювати з дуже складними виразами, розкладаючи їх на простіші.
Таблиця похідних — це своєрідна математична шпаргалка, що значно полегшує життя студентам, учням і всім, хто працює з функціями. Її варто мати під рукою, а ще краще — вивчити напам’ять. Завдяки цьому ти зможеш швидко й ефективно аналізувати та розв’язувати математичні задачі будь-якої складності.
